2024-9 记录

9.2

由于 $8$ 月不知道在干嘛，直接从 $9$ 月份开始。

$\color{Purple}\text{[ARC122E] Increasing LCMs\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

构造题是不可做的，这辈子都不可做的。

考虑到新放入的数仅与前面所有数的 $lcm$ 有关，但直接将 $lcm$ 作为状态不可行，于是可以考虑倒序构造，找到一个 $x$，使其他数的最大公约数 $s$ 满足 $lcm(s,a_x)>s$，这样之前的 $lcm$ 不再是变量，可证得若有解必然可以这样构造出来。

至于转移，直接求 $lcm$ 显然不行，考虑求 $lcm_{i\neq x}\{gcd(a_i,a_x)\}$，至于不超过 $a_x$，若 $<a_x$ 则合法。

$\color{BBlue}\text{P11013 「ALFR Round 4」C 粉碎\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=2}$

设 $f_i$ 为 $a_i$ 作为消去的一对中较前的一个是否可行，$g_i$ 为 $a_i$ 作为消去的一对中较后的一个是否可行，答案为 $\max_{g_i=1}\{i\}$，转移直接乱搞即可。

9.3

$\color{Black}\text{P3642 [APIO2016] 烟火表演\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=2}$

$\texttt{Slope trick.}$

$\texttt{Slope trick}$ 常用于维护函数值为若干个一次函数构成的凸包的 $\texttt{dp}$ 问题，具体而言，我们插入若干个拐点，使得两个相邻拐点间的斜率每次增加 $1$，若一次增加的斜率超过 $1$ 则多放几个相同点，用数据结构维护即可得到答案。

对于本题，设 $f(x)$ 为当前子树内时间均为 $x$ 的最小代价，易得 $f(x)$ 的图像为一个斜率单调递增的凸包，且斜率为 $0$ 的区间的右侧的斜率恒为 $1$，利用这个性质用左偏树维护即可。

同时这道题让我发现了以前的左偏树板子写的不知道是什么东西。

9.4

$\color{Purple}\text{P3292 [SCOI2016] 幸运数字\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=3}$

异或最值选用线性基来处理，于是变成了求树上线性基，对于每个点求出根到这个点的链构成的线性基，并且尽量保留深度较深的点，查询时把端点线性基中深度不低于 $lca$ 的基拿出来搞即可。

$\color{BBlue}\text{P10992 [蓝桥杯 2023 国 Python A] 最长同类子串\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=3}$

二分 $k$ 再 $Hash$ 即可。

$\color{Black}\text{P8497 [NOI2022] 移除石子\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

好题，后面再写。

9.5

$\color{Purple}\text{P10785 [NOI2024] 集合\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=8}$

本周最唐的一集。

判断两个序列是否本质相同，可以直接想到 $Hash+$ 扫描线。然后我蒙了一个合法区间是单调的，但很快想了一个当时看不出来的假反例，把这个想法 ban 了，接着直接暴力 $Hash$，即动态维护无序集合套无序集合，卡了一天都没弄出来。

实际上单调的结论是对的，直接双指针即可。

9.6

$\color{Black}\text{P5406 [THUPC2019] 找树\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

如果说这道题让我知道自己压根没看懂FFT，那么本题再次刷新了我对FWT的认知。

FFT每次乘法之后项数会变大，所以反复点乘是一个非常小丑的行为。

FWT的定义域不会改变，故可以多次利用。

FWT对每一位的操作可看成两个数组成的向量乘上一个矩阵，同样也可以使得整个数组乘上一个大矩阵，因此可证得每一位的运算是互不干扰的，完全可以支持各位有各位的运算。

再看这题，我们考虑求出 $v_1\oplus...\oplus v_{n-1}=x$ 时的生成树个数，而FWT后的方案数仅仅只是所有 $a_{i,j,x}$ 的积，直接矩阵树定理即可。

9.8

打了两场模拟赛，感觉脑子根本没在线。

9.9

$\color{Purple}\text{P10774 BZOJ3563 DZY Loves Chinese\ \ P10778 BZOJ3569 DZY Loves Chinese II\ \ P10075 [GDKOI2024 普及组] 切割\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=6}$

考虑给图中的所有边随机赋一个权值，使得对于任意 $i$，所有与其相关的边的边权的异或和为 $0$。

若不连通，则可将图划分为两个点集 $S,T$，使得所有 $S$ 到 $T$ 的边均被删除，对于这些边，他们的异或和显然为 $0$，于是用线性基维护即可。

9.10

作业压力上来了。

$\color{Purple}\text{P3540 [POI2012] SQU-Squarks\ \ }\color{BBlue}\text{P1286 两数之和\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=3}$

首先，可以发现，只要知道了最小值 $a_1$，就可以推出整个数列。具体的，可以先得到 $a_2,a_3$，考虑数学归纳法，假设已经得到了 $a_{1\sim k}$，把他们组合出来的和从 $b$ 中去掉，最小的就是 $a_1+a_{k+1}$，因此得证。

关键在于找到 $a_1$。显然排序后 $b_1=a_1+a_2,b_2=a_1+a_3$，且 $a_2+a_3\in\{b_3,b_3... b_{n+1}\}$，暴力枚举再推出 $a_1$ 即可。

9.11

$\color{Green}\text{P11036 【MX-X3-T3】「RiOI-4」GCD 与 LCM 问题\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=5}$

这个 $gcd$ 感觉一点用都没有，不如直接令 $b=1$ 消去。

于是转化为 $a=lcm(c,d)-c-d$。

显然右边那个东西可以表示任意一个奇数 $x$：$x=lcm(2,x+2)-(x+2)-2$。

若 $a$ 为偶数，设 $a=u2^v$，$u$ 为奇数，那么 $u=lcm(2,u+2)-(u+2)-2$，即 $a=u2^v=lcm(2^{v+1},(u+2)\times 2^v)-(u+2)\times 2^v-2^{v+1}$。

值域显然是符合要求的。

$\color{B}\text{P11037 【MX-X3-T4】「RiOI-4」上课\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=7}$

显然数取得越集中越好，直接预处理处集中在 $x$ 时对应的答案范围，询问直接二分到 $x$ 再修修补补即可。

$\color{Purple}\text{P4839 P 哥的桶\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

每次搜题都看得到这题，to annoying。

线段树 $+$ 线性基即可，还是能过的。

原来我线段树可以码这么快。

$\color{Purple}\text{P10833 [COTS/CETS 2023] 下 Niz\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

考虑一个合法区间 $[l,r]$ 该满足什么条件：

• 区间最大值为 $r-l+1$。
• 记 $pre_i$ 为上一个 $a_i$ 出现的位置， $nxt_i$ 为下一个 $a_i$ 出现的位置，那么 $\forall i\in [l,r],pre_i<l\land nxt_i>r$。

于是可以分治计算跨过 $[mid,mid+1]$ 的区间，具体的，可以假设最大值在左边/右边，再记录区间最值及 $pre,nxt$ 的最值即可判断。

9.12

$\color{Black}\text{ P7451 [THUSCH2017] 杜老师\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=2}$

乘积为完全平方数，也就是各质因子出现的次数为偶数。而求异或和为 $0$ 又是线性基最擅长的。于是考虑用线性基维护质数集的奇偶性。

若区间长度很小，显然可以暴力插入 $O(\frac{\pi^2(n)}{w})$。

若区间长度超过 $2\sqrt n$，可证得每个出现过的质数的位置都能被填满，于是数个数即可。

对两部分根号分治就解决了。

$\color{Black}\text{[ABC216H] Random Robots\ \ \ \ \ }\color{Green}\text{No FST}$

考虑统计方案数再除以 $2^{nk}$。

把时间当做 $y$ 轴，那么每次可以只向上走一格，也可以斜向上走一格，求 $k$ 条不相交路径的方案数，直接上 $LGV$ 引理，即求所有排列的路径条数的和，分正贡献和负贡献。

考虑 dp，即选择 $y_{1\sim k}$ 使得 $(0,x_i)$ 最终到了 $(n,y_i)$，设 $f_{i,s,t}$ 为 $y$ 枚举到 $i$，前面的 $i$ 中有些匹配了 $x_j,j\in s$，排列奇偶性为 $t\in\{0,1\}$ 的方案数。选择时转移的系数为 $\tbinom{n}{i-x_j}$。

9.13

$\color{Black}\text{ P10857 【MX-X2-T6】「Cfz Round 4」Ad-hoc Master\ \ \ \ \ }\color{Red}\text{FST=4}$

神仙题，离线 sto $\text{@}$$\color{Red}\text{xhgua}$$\color{Yellow}{√}$。

既然题目给了一堆异或和，那么显然是要找几个数异或乱搞。

尝试把所有的 $f_{i,k},i\in [1,n]$ 异或起来，就可以得到一个结论（设点 $i$ 在二叉树中的真实深度为 $dep_i$）。

1. $\oplus_{i=1}^nf_{i,k}=\oplus_{i=1}^n[dep_i=k-1]w_i$

若 $dep_i\neq k-1$，显然从其出发的每条路径都可以找到唯一一条路径与之匹配，故 $w_i$ 对异或没有贡献。

若 $dep_i= k-1$，显然其到根的路径没法抵消，故只贡献了一次。

综上可得证。

于是我们就得到了除 $0$ 外所有深度的异或和，要求根的值只需找到所有权值的异或和即可。

2. 设 $s=\oplus_{k=1\land k=1\pmod 2}^{2h-2}f_{u,k}\oplus f_{v,k}$，$u,v$ 为任意两点，那么当 $u,v$ 的距离为奇数时，$s$ 为所有权值的异或和；当 $u,v$ 的距离为偶数时，$s$ 为 $0$。

当 $u,v$ 的距离为奇数时，任意一个点到他们的距离要么是奇数，要么是偶数，故只算一次；当 $u,v$ 的距离为偶数时，任意一个点要么没被记录，要么被计算了两次，故得证。