tarjan算法

先再明确几个概念：
强连通图：强连通图。在一个强连通图中，任意两个点都通过一定路径互相连通。比如图一是一个强连通图，而图二不是。因为没有一条路使得点4到达点1、2或3。

强连通分量：在一个非强连通图中极大的强连通子图就是该图的强连通分量。比如图三中子图{1,2,3,5}是一个强连通分量，子图{4}是一个强连通分量。
（图片来自其他博客）
tarjan算法的实现：
tar tarjan基于DFS，用dfs遍历图G的所有点。分别建立两个数组Dfn和Low，Dfn[i]代表dfs到达顶点i的时间,Low[i]代表能够直接或者间接到达的最小顶点时间。
1.初始化，当首次搜索到点i时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间，Low[i]=Dfn[i]=time++。
2.将搜索到的点压入栈顶。
3.当点u与点v相连，如果v并不在栈中，先将v压入栈，dfs遍历v，则Low[u]=min(Low[u],Low[v]).
4.当点u与点v相连，如果v在栈中，则Low[u]=min(low[u],dfn[v]).
5.每当搜索到的点经过以上操作后，Low[u]=Dfn[u]，则此时栈里u以及u以上的顶点全部出栈，即为一个极大强连通分量。
6.继续搜索，或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。
伪代码：

tarjan(u)
{
    DFN[u]=Low[u]=time++                // 为节点u设定次序编号和Low初值
    Stack.push(u)                       // 将节点u压入栈中
    for each (u, v) in E                // 枚举每一条边
        if (v is not visted)            // 如果节点v未被访问过
            tarjan(v)                   // 继续向下找
            Low[u] = min(Low[u], Low[v])        
        else if (v in S)                // 如果节点v还在栈内
            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])    
        if (DFN[u] == Low[u])           // 如果节点u是强连通分量的根
             repeat
                 v = S.pop              // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
                 print v
             until (u== v)
}

时间复杂度：
所有的点都刚好进过一次栈，所有的边都访问的过一次，所以时间复杂度为O（n+m）。
证明：
1.在栈里，当dfs遍历到v，而且已经遍历完v所能直接到达的顶点时，low[v]=dfn[v]时，v一定能到达栈里v上面的顶点： 因为当dfs遍历到v，而且已经dfs递归调用完v所能直接到达的顶点时（假设上面没有low=dfn），这时如果发现low[v]=dfn[v]，栈上面的顶点一定是刚才从顶点v递归调用时进栈的，所以v一定能够到达那些顶点。
2.dfs遍历时，如果已经遍历完v所能直接到达的顶点而low[v]=dfn[v]，我们知道v一定能到达栈里v上面的顶点，这些顶点的low一定小于 自己的dfn，不然就会出栈了，也不会小于dfn[v],不然low [v]一定小于dfn[v],所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个强连通分量，如果它不是极大强连通分量的话low[v]也一定小于dfn[v]，所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个极大强连通分量。
代码实现：

int taijan(int i)
{
    int j;
    Dfn[i]=Low[i]=Dindex++;
    instack[i]=true;       //标记已经访问
    stap[num++]=i;         //记录进栈的顺序，值
    for(edge e=V[i];e;e=e->next)
    {
        j=e->t;
        if(!Dfn[j])
        {
            tarjan(j);
            if(Low[j]<Low[i])
            Low[i]=Low[j];
        }
        else if(instack[j]&&Dfn[j]<Low[i])
        Low[i]=Dfn[j];
    } 
    if(Dfn[i]==Low[i])
    {
        Bcnt++;             //记录连通块个数
        do
        {
            j=stap[num--];
            instack[j]=false;
            belong[j]=Bcnt;  //记录各点属于哪一个连通块
        }while(j!=i)
    }
}
int solve()
{
    int i;
    num=Bcnt=Dindx=0;
    memset(Dfn,0,sizeof(Dfn));
    for(i=1;i<=N;i++)
    {
        if(!Dfn[i])
        tarjan(j);
    }
} 

参考文献：
http://my.oschina.net/u/572632/blog/277951
http://blog.csdn.net/xinghongduo/article/details/6195337
http://blog.sina.com.cn/s/blog_69a101130100k1cm.html