题解 P3797 【妖梦斩木棒】

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知识点: 线段树,模拟

原题面

出题的神仙ob 在 \(gxs\) 发布当天打通了 ⑧个机体的 \(L\)
~~ob太强啦~~

题目要求:

给定一长度为 \(n\) 的字串 , 由 "\((\)" , "\(X\)" , "\()\)" 三种字符构成 , 初始状态为 \((XX...XX)\)
需要支持下列两种操作:

修改 : 将第 \(i\) 个元素替换为三种元素中给定的的一种.
查询 : 查询区间 \([l,r]\) 中 , 形如 \((X..X)\) 或 \(()\) 字符串的个数
( 目标字串首尾为 \((\ )\) , 且 \((\ )\) 中间只能存在 \(X\) )

分析题意:

一开始走了许多弯路 = = ,
得到了许多看起来很有用实际上卵用没有的结论
经过整理后 , 用的只有下列结论 :

对于一个只由字符\((\) 与字符\()\) 构成的字串 ,
向其中任意位置插入任意数量的 \(X\) ,
对任意区间内目标字串的数量都没有影响

根据此结论 , 可以将原字串进行转化 ,
忽略所有的 \(X\) , 以便于之后的的分析及调试
假设现有两相邻字串 \(A\) 与 \(B\)
\(A\) , \(B\) 中目标字串的数量分别为 \(sum_a\) 与 \(sum_b\) ,
求两序列合并后目标字串的数量 \(sum_{a+b}\)
- 显然 , 合并后 \(sum_{a+b}\) 至少为 \(sum_a + sum_b\)
  可不可能出现新的目标字串 , 使合并后目标字串数量有所增加 ?
  答案是肯定的.
  
  如下列情况 (忽略了所有的 \(X\)) :
  
  \(...(\) \()...\) \(...()..\)
  
  \(A\) \(B\) \(A+B\)
  
  此时有: \(sum_{a+b} = sum_a+sum_b+1\)
- 合并时如何维护此类横跨两个区间的目标字串 \(??\)
  可以维护每一个区间的最左侧的非 \(X\) 字符与最右侧的非 \(X\) 字符.
  
  在合并时 , 若左区间最右侧为 "\((\)" 且右区间最左侧为 "\()\)"
  则证明出现上述情况 , 区间目标字串数 \(+1\)
由结论 \(2\) 扩展而来 :
如何维护区间的最左,最右侧的非 \(X\) 字符 ?
- 区间内只有一个元素时: 两非\(X\)字符即该元素
- 当区间有多个元素时, 可以将区间看做两不相交的子区间合并而来 :
  1. 当两子区间均不全为 \(X\)时 ,
    区间最左侧非 \(X\) 字符 = 左子区间最左侧非 \(X\) 字符,
    区间最右侧非 \(X\) 字符 = 右子区间最右侧非 \(X\) 字符,
  2. 当右子区间全为 \(X\)时:
    区间最左侧非 \(X\) 字符 = 左子区间最左侧非 \(X\) 字符,
    区间最右侧非 \(X\) 字符 = 左子区间最右侧非 \(X\) 字符,
  3. 当左子区间全为 \(X\)时: 同 \(2\)
- 由上 , 只需要再维护区间是否为空 ,
  该信息即可由递归回传来进行维护 .
题目要求的区间查询:

本体即简单的区间求和
但是存在结论 \(2\) 中描述的: 横跨两子区间的目标字串
则需要对线段树的区间求和操作进行微小的改造:

设查询区间为 \([L,R]\) , 可以发现:

满足下列 \(3\) 个条件时 , 存在横跨两子区间的目标字串 , 查询的区间和需 \(+1\)
- 当 \([L,R]\) 横跨某区间的左右子区间
- 左子区间最右侧非 \(X\) 字符为 "\((\)" , 位置为 \(pos1\)
  右子区间最左侧非 \(X\) 字符为 "\()\)" , 位置为 \(pos2\)
- \(L\le pos1\) 且 \(pos2 \le R\)
为实现上述操作 , 还需要维护最左 , 最右侧的非 \(X\) 字符的位置

\(...(\)	\()...\)	\(...()..\)
\(A\)	\(B\)	\(A+B\)

算法实现:

根据上述结论 , 现在需要一种数据结构 ,
支持维护区间信息 , 递归回传 , 单点修改

建立一棵维护下列区间信息的线段树:
- 最左侧第一个非 \(X\) 字符是否为 "\()\)"
  最右侧第一个非 \(X\) 字符是否为 "\((\)"
- 最左侧第一个 "\()\)" 的位置 , 最右侧第一个 "\((\)" 的位置
- 是否全部为 \(X\)
- 目标字串数量
单点修改操作 :
先深入至目标叶节点 , 更新叶节点的信息
之后根据结论 \(2,3\) , 递归更新区间信息
区间查询操作 : 根据结论 \(4\) , 求区间和即可

~~奇丑的~~ 代码:

//知识点: 线段树,模拟 
/*
By:Luckyblock
ob给给舔一舔
用0代表( , 用1代表) ,用2代表'X' 
*/
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctype.h>
#define ls (now<<1)
#define rs ((now<<1)+1)
const int MARX = 2e5+10;
//=============================================================
struct node
{
	int L,R;//维护的区间,
	bool allX,side[3];//是否全为X , side[0]:最左侧是否有) , side[1]:最右侧是否有( ,
	int sum,pos[3]; //区间内完整木棒数, 及区间内 最左侧),最右侧( 位置 
}tree[MARX<<4];
int n,m, map[110],map1[3];//map存映射关系, 0<->( , 1<->) , 2<->X 
char now_list[MARX];//当前的 字串 
//=============================================================
inline int read()
{
    int s=1, w=0; char ch=getchar();
    for(; !isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') s =-1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) w = w*10+ch-'0';
    return s*w;
}
void Build(int now,int l,int r)//常规建树
{
	tree[now].L=l,tree[now].R=r;
	if(l == r) return ;
	int mid = (l+r)>>1;
	Build(ls,l,mid);
	Build(rs,mid+1,r);
}
void pushup(int now)//更新 第now个节点 的各信息 
{
	//维护 区间最左侧 是否有) 
	if(tree[ls].side[0]) tree[now].side[0]=1, tree[now].pos[0] = tree[ls].pos[0]; 
	else if(!tree[ls].allX && tree[rs].side[0]) tree[now].side[0]=1 , tree[now].pos[0]= tree[rs].pos[0];
	else tree[now].side[0] = 0;
	//维护 区间最右侧 是否有( 
	if(tree[rs].side[1]) tree[now].side[1]=1 , tree[now].pos[1] = tree[rs].pos[1];
	else if(!tree[rs].allX && tree[ls].side[1]) tree[now].side[1]=1 , tree[now].pos[1]= tree[ls].pos[1];
	else tree[now].side[1] = 0;
	//更新区间 合法字串数, 区间是否全为'X' 
	tree[now].sum = tree[ls].sum+tree[rs].sum + (tree[ls].side[1] && tree[rs].side[0]);;
	tree[now].allX = (tree[ls].allX || tree[rs].allX);
}
void Change(int now,int pos,int value) //单点修改, 将第pos个位置修改为 value 
{
	if(tree[now].L==pos && tree[now].R==pos)//当前区间 即指定位置 
	{
	  now_list[pos] = map1[value];//更新各信息 
	  tree[now].allX = (value!=2);//是否全为X 
	  tree[now].side[0] = tree[now].side[1] = 0;//更新 最左,最右侧元素 
	  tree[now].side[value] = 1, tree[now].pos[value]=pos;
	  return ;
	}
	int mid = (tree[now].L+tree[now].R)>>1;
	if(pos <= mid) Change(ls,pos,value);
	if(pos > mid) Change(rs,pos,value);
	pushup(now);//更新当前位置 
}
int Inquiry(int now,int L,int R)//查询区间 L,R 的目标字串数 
{
	if(L <= tree[now].L && tree[now].R <= R) return tree[now].sum;
	int sum=0,flag=0;//flag 判断区间 是否同时被左右子区间更新过   
	int mid = (tree[now].L+tree[now].R)>>1;
	if(L<=mid) sum += Inquiry(ls,L,R), flag++;
	if(R>mid) sum += Inquiry(rs,L,R), flag++;
	//存在 合法字串 横跨左右子区间  
	if(flag == 2) sum += (tree[ls].side[1] && L<=tree[ls].pos[1] && tree[rs].side[0] && R>=tree[rs].pos[0]);
	return sum; 
}
void prepare()//预处理 
{
	n=read() , m=read();
	Build(1,1,n);
	Change(1,1,1) , Change(1,n,0);
	
	now_list[1]='(' , now_list[n]=')';//原始字串 
	for(int i=2; i<n; i++) now_list[i]='X';
	
	map['(']=1, map[')']=0, map['X']=2;//建立映射关系 
	map1[1]='(',map1[0]=')',map1[2]='X';
}
//=============================================================
signed main()
{
	prepare();
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
	  int type=read(),value1,value2;
	  char value3;
	  if(type == 1) //修改操作 
	  {
	  	value1=read(); value3 = getchar();//读入防卡 
	  	getchar();
	  	if(now_list[value1] == value3) continue;
	  	Change(1,value1,map[(int)(value3)]);
	  }
	  else //查询操作 
	  {
	  	value1=read(), value2=read();
		printf("%d\n",Inquiry(1,value1,value2));
	  }
	}
}

完成了这篇题解 , 车万众信仰 \(++\)
~~什么时候我也能成为ob一样的神仙飞机人~~

posted @ 2019-09-29 20:24 Luckyblock 阅读(101) 评论(0) 收藏举报

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