线性DP—洛—两个排列的最长公共子序列

P1439 两个排列的最长公共子序列

题目描述

给出 \(1,2,\ldots,n\) 的两个排列 \(P_1\) 和 \(P_2\)，求它们的最长公共子序列。

输入格式

第一行是一个数 \(n\)。

接下来两行，每行为 \(n\) 个数，为自然数 \(1,2,\ldots,n\) 的一个排列。

输出格式

一个数，即最长公共子序列的长度。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

输出 #1

说明/提示

对于 \(50\%\) 的数据， \(n \le 10^3\)；
对于 \(100\%\) 的数据， \(n \le 10^5\)。

原来的想法

不知道变通，一味想着已有的模型。原来dp[i][2] 表示a序列第i个数加不加在最长子序列里面，但还要保留前面每个状态的最后的数在b序列的位置,判断怎么加。前面初值也比较难赋。若循环找前面能加的最长公共子序列，O（n^2)，\(10^5\)会TLE,也不知道逻辑细节对不对。
代码：

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans;
int a[100010],b[100010],pos[100010];    //映射b的位置
int dp[100010][2][2];    //该位置不参与与参与最长自序列长度和最长子序列在b序列最后的位置
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 1;i <= n;i++)    cin>>a[i];
    for(int i = 1;i <= n;i++)    
    {
        cin>>b[i];
        pos[b[i]] = i;
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        dp[i][0][0] = max(dp[i-1][0][0],dp[i-1][1][0]);
        dp[i][0][1] = (dp[i-1][1][0] > dp[i-1][0][0] ? dp[i-1][1][1] : dp[i-1][0][1]);
        for(int j = i-1;j >= 0;j--)
        {
            if(pos[a[i]] > pos[dp[j][0][1]])
            {
                if(pos[a[i]] > pos[dp[j][1][1]] && dp[j][1][0] > dp[j][0][0])
                {
                    dp[i][1][0] = dp[j][1][0] + 1;
                }
                else    dp[i][1][0] = dp[j][0][0] + 1;
                dp[i][1][1] = a[i];
                break;
            }
            if(j == 0)
            {
                dp[i][1][0] = 1;
                dp[i][1][1] = a[i];
            }
        }
    }
    //cout<<dp[1][1][1]<<endl;
    for(int i = 1;i <= n;i++)    ans = max(max(ans,dp[i][1][0]),dp[i][0][0]);
    cout<<ans;
    return 0;
}

/*
注意：观察题目，俩数列都是1~n的全排列
思想：有点贪心思想，每个数字可以加在最长子序列后面，找到前面符合条件的最长；也可以不使用该数字，状态存前一个数字的最大值
*/

正解

豆包提出转化为最长上升子序列，自己想了一下。如果映射B组数列，会有个1~n的映射，对应到A组就是最长上升子序列，跟之前的想法差不多，只是更加具体化了，序列A每个数字在序列B映射成先后顺序，小的在前面才可能公共。直接用贪心+二分，n*logn 级别。还是要多一些模型迁移能力。
代码：