P6393. 沙漠绿洲

题解

首先，使最小值最大化很自然想到二分答案，然后我们考虑如何判定。

当 \(c_i \leq 5\) 时，我们很自然的可以想到一个状压 dp，我们先将所有物品按照 \(w_i\) 排序，记 \(f[i][S]\) 为选择到第 \(i\) 个物品，选了 \(S\) 中颜色，\(S\)
为一个 \(5\) 位的二进制，那么这样的复杂度就是 \(O(2^5 \times n \log n)\) 的，可以通过 \(Subtask 2\) 和 \(Subtask 5\)。

当 \(c_i \leq n\) 时，受 CSP 2022 T1 的随机化做法的启发，我们可以想到把 \(c_i\) 映射到 \(1 \sim 5\) 里，然后我们多随机映射几次，正确的可能性就很高了。

于是我们就可以沿用 \(c_i \leq 5\) 时的做法，经过测试，这种映射方法差不多随机 \(200\) 次后的正确率是可以接受的，不过该做法的复杂度为 \(O(2^5 \times 200 \times n \log n)\)，且由于时限被开小到了 \(1S\)，无法通过全部的数据。

然后我们注意到 \(f[i][S]\) 数组存储的仅为该种方法是否能达成，且转移时要一位一位转移，十分低效，于是我们就可以考虑进行压位。

注意到 \(5\) 中颜色的选择情况一共只有 \(32\) 种，我们可以用一个 unsigned int 存储下来，那么现在我们转移时就可以直接通过对状态进行位移来转移，十分高效，同时为了提高正确率，我们可以改用 unsigned long long 来进行压位，将 \(c_i\) 映射进 \(1 \sim 6\) 中，经测试，使用 unsigned long long 进行压位只要差不多 \(70\) 次随机即可通过数据，复杂度为 \(O(70 \times n \log n + 2^{6 - m} \log n)\)，可以通过本题。

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e4 + 10;
const int T = 70;
int n, m, c[N], v[N], maxc, passed[65], tot;
pair<int, int> a[N];
unsigned long long f[N], except[6];

bool check(int k) {
	for (int t = 1; t <= T; t ++) {
		memset(v, -1, sizeof(v));
		for (int i = 1; i <= n; i ++) c[i] = v[a[i].second] != -1 ? v[a[i].second] : v[a[i].second] = rand() % 6;
		f[0] = 1;
		for (int i = 1, j = 0; i <= n; i ++) {
			while (a[i].first - a[j + 1].first >= k) ++ j;
			f[i] = f[i - 1];
			f[i] |= (f[j] & except[c[i]]) << (1ll << c[i]); 
		}
		for (int i = 1; i <= tot; i ++) if (f[n] >> passed[i] & 1) return true;
	}	
	return false;
}

void solve() {
	maxc = 0;
	scanf("%d%d%*d", &n, &m);
	tot = 0;
	for (int S = 0; S < 1 << 6; S ++) if (__builtin_popcount(S) >= m) passed[++ tot] = S;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d%d", &a[i].second, &a[i].first);
	sort(a + 1, a + 1 + n);
	int l = 0, r = 1e6, ans = -1;
	while (l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (check(mid)) ans = mid, l = mid + 1;
		else r = mid - 1;
	}
	printf("%d\n", ans);
}

int main() {
	srand(6797956);
	for (int i = 0; i < 6; i ++) for (int S = 0; S < 1 << 6; S ++) if (!(S >> i & 1)) except[i] |= 1ll << S;
	int T; scanf("%d", &T);
	while (T --) solve();
}