Samsara

题解

原题：[北大集训2021] 小明的树

定义两个端点都未点亮的边为黑边，一个端点点亮一个端点为点亮的边为黑白边，两个端点都点亮的边为白边。

考虑进行转化，发现当树的的黑边构成一个连通块时这棵树一定合法。

然后考虑经典结论，连通块个数等于 \(点数\) \(-\) \(边数\) ，而黑点的个数又等于 \(n - 操作次数\)，则当树合法时 \(n - 操作次数 - 黑边个数 = 1\)。

再考虑何时合法，此时连通块个数等于黑白边的个数。

然后考虑如何维护，这种问题肯定想到线段树。

我们以时间为轴来建立线段树，接下来我们假定一条边的两个端点的点亮时间分别为 \(t_x\) 和 \(t_y\) 且 \(t_x < t_y\)。

在一开始，黑边的贡献为 \(1\)。

当点 \(x\) 被点亮时，黑白边的个数加 \(1\)。

当点 y 被点亮时，白边的贡献为 \(1\)。

然后我们拿线段树维护下最小值，最小值的个数和为最小值的点的权值和就行了。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 5e5 + 10;
int n, q, b[N];
pair<int, int> e[N];
struct SegTree { int l, r, sum, min, tag[2], cnt; } t[N * 4];

void pushup(int x) { 
	t[x].sum = t[x * 2].sum + t[x * 2 + 1].sum; t[x].min = min(t[x * 2].min, t[x * 2 + 1].min);
	t[x].cnt = 0, t[x].sum = 0; 
	if (t[x].min == t[x * 2].min) t[x].cnt += t[x * 2].cnt, t[x].sum += t[x * 2].sum;
	if (t[x].min == t[x * 2 + 1].min) t[x].cnt += t[x * 2 + 1].cnt, t[x].sum += t[x * 2 + 1].sum;
}

void apply(int x, int k1, int k2) { t[x].tag[0] += k1, t[x].tag[1] += k2, t[x].min += k1, t[x].sum += t[x].cnt * k2; }

void pushdown(int x) {
	if (t[x].tag[0] || t[x].tag[1]) {
		apply(x * 2, t[x].tag[0], t[x].tag[1]), apply(x * 2 + 1, t[x].tag[0], t[x].tag[1]);
		t[x].tag[0] = 0, t[x].tag[1] = 0;
	}
}

void build(int x, int l, int r) {
	t[x].l = l, t[x].r = r, t[x].tag[0] = 0, t[x].tag[1] = 0, t[x].sum = 0;
	if (l == r) return t[x].cnt = 1, t[x].min = l == n ? n + 1 : n - l, void();
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(x * 2, l, mid);
	build(x * 2 + 1, mid + 1, r);
	pushup(x);
}

void update(int x, int ql, int qr, int k1, int k2) {
	if (ql > qr) return;
	if (ql <= t[x].l && t[x].r <= qr) return apply(x, k1, k2);
	pushdown(x);
	int mid = (t[x].l + t[x].r) >> 1;
	if (ql <= mid) update(x * 2, ql, qr, k1, k2);
	if (mid < qr) update(x * 2 + 1, ql, qr, k1, k2);
	pushup(x);
}

void modify(int x, int y, int k) {
	if (x > y) swap(x, y);
	// printf("x: %d y: %d\n", x, y);

	update(1, 1, x - 1, - k, 0);
	// printf("add val [%d, %d] k: %d\n", x, y - 1, k);
	update(1, x, y - 1, 0, k);
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &q);
	for (int i = 1; i < n; i ++) scanf("%d%d", &e[i].first, &e[i].second);
	for (int i = 1, x; i < n; i ++) scanf("%d", &x), b[x] = i;
	b[1] = n;
	build(1, 1, n);
	for (int i = 1; i < n; i ++) modify(b[e[i].first], b[e[i].second], 1);
	printf("%d\n", (t[1].min == 1) * t[1].sum);
	while (q --) {
		int x_1, y_1, x_2, y_2; scanf("%d%d%d%d", &x_1, &y_1, &x_2, &y_2);
		modify(b[x_1], b[y_1], -1), modify(b[x_2], b[y_2], 1);
		printf("%d\n", (t[1].min == 1) * t[1].sum);
	}
	return 0;
}