U137971 公司搬迁 - 并查集 奇偶性
题目描述
因为人员规模扩大,T公司准备搬到新的写字楼去,写字楼分为A座和B座,n名不同工号的员工x(p1,p2,p3...pn) 按照下面两个规则确定在A座或者B座进行办公:
(1)如果工号为x的员工在A座,那么工号为a-x的员工肯定也在A座(编号为a-x的员工要保证存在,否则不成立)
(2)如果工号为x的员工在B座,那么工号为b-x的员工肯定也在B座(编号为b-x的员工要保证存在,否则不成立)
判断一下是否存在一种方案来分配所有员工的办公地点。如果能够分配全员的办公地点,输出YES;若存在至少一名 员工,找不到规则中与之对应的员工,输出NO。
注意:如果所有员工都在A座或者都在B座也可以。
输入格式
第一行输入一个T(1≤T≤10),表示下面有多少组测试数据 对于每组测试数据的2行输入:
第1行有3个整数n,a,b (1≤n≤1e5; 1≤a,b≤1e9) 。 第2行有n个不一样的整数 p1,p2,...,pn (1≤pi≤1e9).
输出格式
每组数据输出一行结果,如果可行,那么输出YES,否则输出NO。
输入输出样例
2 4 5 9 2 3 4 5 3 2 3 1 2 3
YES NO
2 5 10 11 2 8 3 7 5 3 5 12 1 4 3
YES NO
说明/提示
数据范围
对于50%的数据,1 ≤ n ≤ 10,1 ≤ pi ≤ 20
对于65%的数据,1 ≤ n ≤ 100
对于100%的数据,1 ≤ n ≤ 1e5,1≤a,b≤1e9,1 ≤ pi ≤ 1e9,1≤T≤10
样例解释
对于样例1:
第一组数据中,四名员工的工号依次为{2,3,4,5},此时a=5,b=9,可以安排{2,3}在A座,{4,5}在B座,人员分配完 成,该方案可行,所以第一行输出YES。
第二组数据中,无论如何工号为3的员工也无法找到与之对应的员工进行分配,所以第二行输出NO。
对于样例2:
第一组数据中,五名员工的工号依次为{2,3,7,8,5},此时a=10,b=11,首先将5号员工安排在A座中,他与他自身对 应,符合题意;之后将{2,8}{3,7}分别也安排在A座,分配完成,输出YES。
第二组数据中,无论如何工号为3的员工也无法找到与之对应的员工进行分配,所以输出NO。
题解
这题可以用2-sat做,然而我并不会,题解的做法开2倍并查集还看不懂,所以就自己乱搞。
1.题意
其实就是给一些节点染色, 给定一些限制,要求某两个节点必须染成同一个颜色, 问是否存在可行方案。
有些细节就是,不能把某个点单独染成一个颜色,除非a-x = x, 即自环(见题目及样例)
2.推性质
这题的关键部分就是推性质
1.建图后必然是许多条链
把a-x与b-x的限制看作边,则每个节点的度数最多为2,所以连接出来的一定是若干(因为不保证联通)条链。(如果首尾相连,也就是环,当做链就好了。读者可自己思考, 因为只有偶链可构成环,破环成链后奇偶性不变, 所以没必要)
2.一条链上的边必然是ABABAB..或BABABA...
称a-x为A边,b-x为B,因为连接某个节点的两条边必然不同,左边的如果是A,右边就是B.
3.同一条链上的所有节点颜色必然相同
假设有这样一条链
假如把第一个染成A, 第二个点由于限制也是A
容易发现如果第三个点是B, 第二个点也应该是B,不成立
故第三个点也是A, 因为限制第四个点................
其他情况同理
4.节点个数为偶数必然有解,奇数必无解
这就是关键了,假如有个图还是这样(节点是偶数个)
容易发现全部染成A是合法的,将节点按顺序分成一对一对的,每队节点都以同一种类型的边相连, 并且没有剩下的(BABA形式也是同理)。
进一步发现,奇数点无论怎么分都会剩下一个。
3.解题
显然只要维护每一条链的长度,判断奇偶性即可。
容易想到并查集来维护是否在同一条链即可, 顺便记录大小即可,并不需要开2倍。这样你就可以拿到75分的好成绩, 调了半天才发现一开始说的自环判错了,看这个图
直接维护节点个数的话是3个,无解。但我并不是怎么干的(因为样例卡了),我把自环拆成两个节点
好,判断成功了,样例全过了
这就是75分做法,再看个反例
显然是可行的,但是把自环拆开后,节点个数加一,判断错误。
等等, 有没有发现什么:不管是奇数还是偶数,包含自环肯定有解。 因为自环既可以当做一个点,也可以自己和自己组一队,如果原链是奇链,则把自环剩下和自己匹配, 偶链忽略即可。 (并且自环只能出现在链尾,否则度数就超过3了。)
总结: 维护链的奇偶性,存在自环则特判为偶链即可。
顺带一提:样例是错的,题目保证了数据互不相同, 代码做了去重,故可过样例。
考试代码,太丑不想改了,抱歉
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #define N 300005 #define inf -1*0x3f3f3f3f using namespace std; int t, n, a, b, s[N], bc[N], bs[N]; int read(){ int num=0; char c=getchar(); while(c<'0' || c>'9') c=getchar(); while(c>='0' && c<='9') num = num*10 + c-'0', c=getchar(); return num; } void build(){ for(int i=1; i<=n; i++) bs[i]=1, bc[i]=i; } int find(int x){ if(bc[x]==x) return x; return bc[x]=find(bc[x]); } void link(int x1, int x2){ int g1 = find(x1), g2=find(x2); bs[g1] += bs[g2]; bc[g2] = g1; } int main(){ t=read(); while(t--){ n=read(), a=read(), b=read(); for(int i=1; i<=n; i++) s[i] = read(); build(); sort(s+1, s+1+n); for(int i=1; i<=n; i++){ if(s[i]==s[i-1])continue; if(a>s[i]){ if(a-s[i]==s[i]){ bs[find(i)]=inf; }else{ int nex = lower_bound(s+1, s+1+n, a-s[i])-s; if(s[nex] == a-s[i]){ if(find(i) != find(nex)){ link(i, nex); } } } } if(b>s[i]){ if(b-s[i]==s[i]){ bs[find(i)]=inf; }else { int nex = lower_bound(s+1, s+1+n, b-s[i])-s; if(s[nex] == b-s[i]){ if(find(i) != find(nex)){ link(i, nex); } } } } } int flag=true; for(int i=1; i<=n; i++){ if(s[i]==s[i-1])continue; if(bs[find(i)] % 2 && bs[find(i)]>0){ printf("NO\n"); flag=false; break; } } if(flag) printf("YES\n"); } return 0; }
多模拟样例,好题样例都会有所启发