[复习资料]概率期望学习笔记
概率期望学习笔记
基础概念
事件
互斥事件： 如果事件 \(A\) 和事件 \(B\) 无法同时发生，那么 \(A\) 和 \(B\) 是互斥事件。
对立事件：如果事件 \(A\) 和事件 \(B\) 无法同时发生，并且要么 \(A\) 发生，要么 \(B\) 发生，那么 \(A\) 和 \(B\) 是对立事件。
相互独立事件：如果事件 \(A\) 和事件 \(B\) 之间互不影响（即 \(A\) 发不发生和 \(B\) 发不发生无关），那么 \(A\) 和 \(B\) 是相互独立事件。
概率
概率是反映随机事件出现的可能性大小，随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
- \(P(A)\) 表示事件 \(A\) 发生的概率。
- \(P(A-B)\) 表示事件 \(A\) 发生并且事件 \(B\) 不发生的概率。
- \(P(A+B)\) 表示事件 \(A\) 发生或者事件 \(B\) 发生的概率。
- \(P(AB)\) 表示事件 \(A\) 发生并且事件 \(B\) 发生的概率。
- \(P(A\mid B)\) 表示事件 \(A\) 在事件 \(B\) 已经发生的条件下发生的概率。
全概率公式
如果 \(B_1,B_2,\dots,B_n\) 互斥，并且 \(\cup_{i=1}^nB_i\) 是全集（样本空间），那么：
\[P(A)=\sum_{i=1}^nP(A\mid B_i)\times P(B_i)
\]
贝叶斯公式
如果 \(B_1,B_2,\dots,B_n\) 互斥，并且 \(\cup_{i=1}^nB_i\) 是全集（样本空间），那么：
\[P(A\mid B_i)P(B_i)=P(B_i\mid A)P(A)=P(AB)
\]
由此可以得到：
\[P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{P(A)}=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^nP(A\mid B_j)P(B_j)}
\]
期望
期望是每次结果乘以其概率之和，它反映的是随机变量平均取值的大小。
\(E(X)\) 表示变量 \(X\) 的期望。
设 \(X,Y\) 是两个随机变量， \(C\) 是一个常数，那么：
- \(E(C)=C\) 。
- \(E(CX)=C\cdot E(X)\) 。
- \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) 。
- 如果 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，那么 \(E(XY)=E(X)E(Y)\) 。
如果事件 \(X\) 发生的概率都是是 \(p\) ，那么事件 \(X\) 期望 \(\frac{1}{p}\) 次发生，因为 \(E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}P(X\ge i)=\sum_{i=1}^{\infty}(1-p)^{i-1}=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}\) 。
简单应用
下面的题目不考虑复杂度等问题，重点在思维。
期望的线性性是一个很重要的性质，要学会使用。
经典问题
- 每次随机一个 \([1,n]\) 的整数，期望几次集齐所有数？
- 随机一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\) ，求 \(p_i=\max_{j=1}^ip_j\) 的概率。
- 随机一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\) ，求满足 \(p_i=\max_{j=1}^ip_j\) 的 \(i\) 的个数的平方的期望。
- 随机一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\) ，求 \(i\) 在 \(j\) 后面的概率。
- 随机一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\) ，求这个排列包含 \(w_1,w_2,\dots,w_m\) 作为子序列的概率。
- 随机一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\) ，求这个排列包含 \(w_1,w_2,\dots,w_m\) 作为连续子序列的概率。
- 有 \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆个数为 \(a_i\) ，每次随机选一个石头然后扔掉这个石子在的整堆石子，求第 \(1\) 堆石头期望第几次被扔。
- 随机一个长度为 \(n\) 的 01 串，每个位置是 \(1\) 的概率是 \(p\) ，定义 X 是每段连续为 \(1\) 的长度平方之和，求 \(E(X)\) 。
- 给定一个排列，每次随机删除一个元素，问 \(i\) 和 \(j\) 在整个过程中存在一次相邻的概率。
- 给定一棵树，将它的边随机顺序依次插入，求 \(u,v\) 期望何时连通。
- 给定 \(1\sim n\) 这些数，每次随机一个还在的数并且删除它和它的所有约数，期望何时删完？
答案在下面。
- 如果已经集齐了 \(x\) 个不同的数，那么再集齐一个不同的数的概率是 \(\frac{n-x}{n}\) ，期望 \(\frac{n}{n-x}\) 次后集齐，答案就是 \(\sum_{x=0}^{n-1}\frac{n}{n-x}\) 。
- 考虑如何构造一个长度为 \(n\) 的排列，可以从左到右依次插入数，由此可以看出概率为 \(\frac{1}{i}\) 。
- 平方也可以理解为从满足条件中的数中选一个再选一个的期望，设 \(X_i\) 表示 \(p_i=\max_{j=1}^ip_j\) 这个事件，那么 \(P(X_i)=\frac{1}{i}\) ，从上题可以看出 \(X_i,X_j(i\ne j)\) 彼此独立，所以 \(P(X_iX_j)\) 当 \(i=j\) 时等于 \(\frac{1}{i}\) ，否则为 \(\frac{1}{ij}\) ，答案就是 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nP(X_iX_j)\) 。
- \(i\) 要么在 \(j\) 前面，要么在 \(j\) 后面，可以看出这两个等价，所以答案就是 \(\frac{1}{2}\) 。
- \(w_1,w_2,\dots,w_m\) 在排列中出现顺序的方案共有 \(m!\) 种，答案就是 \(\frac{1}{m!}\) 。
- 统计合法方案数除以总数，枚举出现位置，答案是 \(\frac{1}{n!}(n-m+1)!\) 。
- 设 \(P(i)\) 表示第 \(i\) 堆石子在第 \(1\) 堆石子之前扔掉的概率，在仅考虑 \(i\) 和 \(1\) 的时候不需要考虑其他东西，所以 \(P(i)=\frac{a_i}{a_i+a_1}\) ，答案就是 \(1+\sum_{i=2}^nP(i)\) 。
- 一样的，平方可以理解为先选一个再选一个，所以答案就是 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^np^{\mid i-j\mid +1}\) 。
- 不妨假设 \(j>i\) ，相当于要求 \((i,j)\) 中的所有数要比 \(i,j\) 先删除， \([i,j]\) 中所有数先后顺序共有 \((j-i+1)!\) 种可能，其中 \(i,j\) 在最后面共有 \(2\times (j-i-1)!\) 可能，答案为 \(\frac{2}{(j-i)(j-i+1)}\) 。
- 设 \(u,v\) 之间的边数为 \(s\) ， \(E(X)=\sum_{i=1}^{n-1}P(X\ge i)=\sum_{i=1}^{n-1}(1-{i-1\choose s}/{n-1\choose s})\) 。
- 设 \(P(i)\) 表示 \(i\) 是在随机到 \(i\) 而不是 \(i\) 的倍数时删除的， \(i\) 的倍数共有 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 个，所以 \(P(i)=\frac{1}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\)，那么答案就是 \(\sum_{i=1}^nP(i)\) 。
简单期望练习题
- 给定 \(n\) 个硬币，第 \(i\) 个硬币的价值为 \(w_i\) ，每次随机取走一个硬币，获得的收益时左右两个硬币的价值之积，求期望总价值。
- \(n\) 个数 \(\{a\}\) ，等概率选两个数，获得的收益时两个数之和，然后删除这两个数，把它们之和加入回去，求收益的期望。
- \(n\) 个数 \(\{w\}\) ，随机一个排列 \(\{h\}\) ，如果 \(2\le i\le n-1,h_i>\max(h_{i-1},h_{i+1})\) ，那么获得 \(w_i\) 的收益，求收益的期望。
- 一棵树，每次选一个白点的然后染黑以这个点为根的整棵子树，求期望几次染黑整棵树。
- \(n\) 个黑球， \(m\) 个白球，每次等概率取出一个球，不放回，将取出来的球的颜色写成一个 01 序列，求“01”（“0”后面紧接着一个“1”）的期望出现次数。
- \(n\) 个点的树，第 \(i\) 个点有 \(p_i\) 的概率被删除，求期望连通块数量。
- \(n\) 个点的树，从 \(1\) 号点开始 dfs ，每次遍历儿子节点时都是将所有儿子按随机顺序遍历，求每个点 dfs 序的期望。
- \(n\) 个数，每个数都是从 \([1,m]\) 中等概率随机得到的一个整数，求所有数最大值的期望。
答案在下面：
- 设 \(p_{i,j}(i+1<j)\) 表示 \(i,j\) 是 \([i,j]\) 中最后一个删除的，那么答案就是 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+2}^{n}p_{i,j}\times w_i\times w_j\) ，如何求 \(p\) 上面已经写过了。
- 设 \(p_i\) 表示还剩 \(i\) 个数，这次选择两个数进行删除操作中包含第 \(1\) 个数的概率，那么 \(p_i=\frac{{i-1\choose 2}}{{i\choose 2}}\) ，由此可以得出每个数对答案进行贡献时乘以的系数 \(E=\sum_{i=2}^{n}p_i\) ，答案就是 \(E\times \sum_{i=1}^na_i\) 。
- 相邻三个数 \(h_{i-1},h_i,h_{i+1}\) 的大小关系是等概率的，所以 \(h_i>\max(h_{i-1},h_{i+1})\) 的概率就是 \(\frac{1}{3}\) ，答案就是 \(\frac{1}{3} \sum_{i=2}^{n-1}w_i\) 。
- 考虑转化题意，可以将题意转化为随机一个排列 \(\{a\}\) ，对于点 \(i\) ，如果存在 \(1\le j<i\) 满足 \(a_j\) 是 \(a_i\) 的祖先，那么就不会造成贡献，否则造成 \(1\) 的贡献，求贡献的期望。发现转化后并不会对答案造成影响，对每个 \(i\) 分开算，设 \(i\) 的深度为 \(d_i\) ， \(i\) 及 \(i\) 的祖先出现顺序都是等概率的，所以 \(i\) 造成贡献的概率就是 \(\frac{1}{d_i}\) ，答案就是 \(\sum_{i=1}^n\frac{1}{d_i}\) 。
- 设某个位置 \(i(1\le i<n+m)\) 满足 \(i\) 和 \(i+1\) 分别是“0”和“1” 的概率为 \(p\) ，那么 \(p=\frac{\frac{(n+m-2)!}{(n-1)!(m-1)!}}{\frac{(n+m)!}{n!m!}}\) ，答案就是 \((n+m-1)p\) 。
- 设删除的点集为 \(S\) ，其中有 \(s\) 条边连接的两个端点都被删除了，点 \(i\) 的度数为 \(d_i\) ，那么连通块数量就是 \(1-s+\sum_{i\in S}(d_i-1)\) ，依次考虑每条边和每个点即可。
- 对于点 \(i\) ，设 \(p_j\) 表示 \(j\) 的 dfs 序小于 \(i\) 的概率，那么 \(i\) 的期望 dfs 序就是 \(\sum p_j\) ，如果 \(i=j\) ，那么 \(p_j=0\) ，如果 \(j\) 是 \(i\) 的祖先，那么 \(p_j=1\) ，如果 \(j\) 是 \(i\) 的孩子，那么 \(p_j=0\) ，如果上面几种情况都不是，那么考虑遍历到 \(i,j\) 的 \(\operatorname{lca}\) 的时候，先往 \(i\) 方向还是先往 \(j\) 方向遍历的概率是一样的，所以 \(p_j=\frac{1}{2}\) 。
- 最大值和最小值本质一样，考虑求最小值，那么 \(E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}P(X\ge i)=\sum_{i=1}^m(\frac{m-i+1}{m})^n\) 。
小结
概率期望还是挺有意思的，也挺重要的，主要还是要多练，这样才可以运用得更加熟练。
