ARC104游记

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ARC104游记

本人打的第一场 ARC ，还好没有太难看。

A Plus Minus

题意简述

给定 \(X+Y\) 和 \(X-Y\) ，求 \(X\) 和 \(Y\) 。

题目分析

\(X=((X+Y)+(X-Y))/2,Y=((X+Y)-(X-Y))/2\) 。

参考代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
	int f;char c;
	for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
	for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	static char q[64];int cnt=0;
	if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
	while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
	while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
int main(){
	int a,b;
	read(a),read(b);
	write((a+b)/2),pc(' '),write((a-b)/2);
	return 0;
}

B DNA Sequence

题意简述

给定碱基序列 \(S\) ，询问 \(S\) 中有多少个子串 \(T\) 满足 \(T\) 重排后可以与重排前配对。

\(1\le |S|\le 5000\) 。

题目分析

\(T\) 重排后可以与重排前配对当前仅当 \(T\) 中 A 的数量等于 T 的数量、 C 的数量等于 G 的数量，枚举所有子串，然后前缀和差分或者动态维护求出 A T C G 数量，直接判断即可。

参考代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
	int f;char c;
	for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
	for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	static char q[64];int cnt=0;
	if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
	while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
	while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=5005;
char s[maxn];
int A[maxn],C[maxn],G[maxn],T[maxn];
int main(){
	int n;read(n);
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		A[i]=A[i-1]+(s[i]=='A');
		C[i]=C[i-1]+(s[i]=='C');
		G[i]=G[i-1]+(s[i]=='G');
		T[i]=T[i-1]+(s[i]=='T');
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=i;j<=n;++j){
			if(A[j]-A[i-1]==T[j]-T[i-1]&&C[j]-C[i-1]==G[j]-G[i-1])
				++ans;
		}
	}
	write(ans),pc('\n');
	return 0;
}

C Fair Elevator

题意简述

有一个长度为 \(2N\) 的序列 \(1,2,\dots,2N\) ，有 \(N\) 个配对关系 \(A_i\to B_i(A_i<B_i)\) ，满足每个 \(1\sim 2N\) 中的每个数只出现一次，并且如果 \(l_0,r_0\) 配对且 \(l_1,r_1\) 配对且 \(l_0<l_1<r_0\) 那么必须满足 \(r_0-l_0=r_1-l_1\) ，现在有些关系损坏了（即有一些 \(A_i\) 和 \(B_i\) 将不会给出），请问给出的配对关系是否可能合法（满足上述条件）。

\(1\le N\le 100\) 。

题目分析

假设存在配对关系 \(l\to r(l<r)\) ，并且没有配对关系跨越 \(l\) ，那么必然存在配对关系 \(l+1\to r+1,l+2\to r+2,\dots,r-1\to r+r-l-1\) ，也就是说这些配对关系构成了一个区间 \([l,r+r-l-1]\) ，由此可以得到启发：或许我们可以使用区间 dp 来解决这个问题。

设 \(dp(l,r)\) 表示仅考虑 \([l,r]\) 这个区间内的数两两之间的配对，是否可以使得这个区间内的数互相两两配对。

两种情况 \(dp(l,r)\) 是 true ，第一种情况就是 \([l,r]\) 中的配对关系恰好构成了这个区间，第二种情况就是这个区间可以通过某个分界点分成两个区间，而这两个区间都是 true 。

第一种情况直接暴力判断即可，第二种情况直接暴力枚举递归即可，时间复杂度 \(\mathcal O(n^3)\) ，细节可能有点多，注意特判（我居然在考场上一遍 A ，真的舒适）。

参考代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
	int f;char c;
	for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
	for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	static char q[64];int cnt=0;
	if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
	while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
	while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=105;
int match[maxn*2],n;
int Match(int d,int u){
	int re=true;
	if(match[d]){
		if(match[d]<=n*2)
			re&=(match[d]==u);
		else
			re&=(match[d]==n*2+1);
	}
	if(match[u]){
		if(match[u]<=n*2)
			re&=(match[u]==d);
		else
			re&=(match[u]==n*2+2);
	}
	if(match[d]==n*2+1&&match[u]==n*2+2)
		re=false;
	return re;
}
// 0:no match 1-n*2:ma n*2+1:up n*2+2:down
int dp[maxn][maxn];
int solve(int l,int r){
	if(~dp[l][r])return dp[l][r];
	int len=r-l+1,re=true;
	for(int i=l;i<=r&&re;++i)
		re&=Match(l-1+i,l-1+i+len);
	if(re)return dp[l][r]=true;
	for(int x=l;x<r&&!re;++x)
		re|=solve(l,x)&&solve(x+1,r);
	return dp[l][r]=re;
}
int main(){
	int ok=true;read(n);
	for(int i=1;i<=n&&ok;++i){
		int a,b;
		read(a),read(b);
		if(a!=-1&&b!=-1&&a>=b)ok=false;
		else{
			if(a==-1&&b==-1)continue;
			else if(a==-1){
				if(match[b])ok=false;
				else match[b]=n*2+2;
			}
			else if(b==-1){
				if(match[a])ok=false;
				else match[a]=n*2+1;
			}
			else{
				if(match[a]||match[b])ok=false;
				else match[a]=b,match[b]=a;
			}
		}
	}
	memset(dp,-1,sizeof dp);
	if(!ok)puts("No");
	else puts(solve(1,n)?"Yes":"No");
	return 0;
}

D Multiset Mean

题意简述

给定 \(N,K,M\) ，对于每个整数 \(1\le x\le N\) ，求出构造整数序列 \(\{a\}\) ，满足 \(a\) 的长度为 \(N\) ，并且对于任意的 \(1\le i\le N\) ，都满足 \(0\le a_i\le K\) ，且 \(\frac{\sum_{i=1}^na_i\times i}{\sum_{i=1}^na_i}=x\) （带权平均数为 \(x\) ）对 \(M\) 取模的方案数。

\(1\le N,K\le 100,10^8\le M\le 10^9+9\) ，保证 \(M\) 为质数。

题目分析

平均数为 \(x\) 不太好算，考虑到：

\[\frac{\sum_{i=1}^na_i\times i}{\sum_{i=1}^na_i}=x \]

\[\Leftrightarrow \sum_{i=1}^na_i\times (i-x)=0 \]

\[\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n-x}a_i\times i=\sum_{i=1}^{x-1}a_{x-i}\times i \]

令 \(f(n,m)\) 为构造长度为 \(n\) 的序列 \(\{a\},0\le a_i\le K\) 满足 \(m=\sum_{i=1}^na_i\times i\) 的方案数，然后递推计算，需要用到类似前缀和优化的方法，预处理时间复杂度是 \(\mathcal O(N^3K)\) 的。

然后枚举 \(x\) ，直接枚举 \(m\) ，找出令上面等式左边右边均为 \(m\) 的方案数，需要注意一点细节，比如 \(a_x\) 的取值，这部分的时间复杂度是 \(\mathcal O(N^3K)\) 的。

参考代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<assert.h>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
	int f;char c;
	for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
	for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	static char q[64];int cnt=0;
	if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
	while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
	while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=105,maxs=510000;
int m;
int mo(const int x){
	return x>=m?x-m:x;
}
int k;
int dp[maxn][maxs];
int main(){
	int n;
	read(n),read(k),read(m);
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1,mx=0;i<=n;++i){
		mx+=i*k;
		dp[i][0]=1;
		for(int j=0;j<i;++j)
			dp[i][j]=dp[i-1][j];
		for(int j=i;j<=mx;++j){
			dp[i][j]=mo(dp[i][j-i]+dp[i-1][j]);
			if(j>=i*(k+1))dp[i][j]=mo(m-dp[i-1][j-i*(k+1)]+dp[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(i==1||i==n)write(k),pc('\n');
		else{
			int l=i-1,r=n-i,ans=0;
			int mx=min(l*(l+1)/2,r*(r+1)/2)*k;
			for(int j=1;j<=mx;++j)
				ans=mo(ans+1ll*dp[l][j]*dp[r][j]%m);
			ans=1ll*ans*(k+1)%m;ans=mo(ans+k);
			write(ans),pc('\n');
		}
	}
	return 0;
}

E Random LIS

这题考场上没切，感觉这种 dp 方法以前都没有用过，所以有点不太会用。

题目简述

给定长度为 \(N\) 的序列 \(\{A\}\) ，有一个整数序列 \(\{a\}\) ，其中 \(a_i\) 在 \([1,A_i]\) 中均匀随机，求 \(a_i\) 最长严格递增子序列的期望长度，模数 \(10^9+7\) 。

\(1\le N\le 6,1\le A_i\le 10^9\) 。

题目分析

这个 \(N\) 怎么这么小啊？这个 \(A\) 怎么这么大啊？

考虑直接枚举所有可能的大小关系，也就是枚举有顺序集合划分 \(S_1,S_2,\dots,S_k\) ，满足 \(S_i\) 中的 \(a\) 两两相等，并且 \(S_i\) 中的 \(a\) 小于 \(S_{i+1}\) 中的 \(a\) （当 \(N=6\) 时，这个枚举次数为 \(4683\) ），然后求方案数，因为 \(S\) 都被枚举出来了，所以这个方案数对答案的贡献也就求出来了，接下来的问题就是求方案数了。

求方案数的时候把所有相等的 \(a\) 合并，其中的 \(A_i\) 去最小值，问题就转化成了：给定长度为 \(N\) 的序列 \(\{A\}\) ，有一个整数序列 \(\{a\}\) ，其中 \(a_i\) 在 \([1,A_i]\) 中均匀随机，求 \(a_i\) 是严格递增序列的方案数。

然后就变成了这道题目了：CF1295F；这道题目也有点像：[APIO2016]划艇。

在这里简单讲一下做法，值域这么大，显然要离散化，不妨规定离散化后的第 \(i\) 小的数和第 \(i+1\) 小的数组成的区间为第 \(i\) 个区间，离散化完后设 \(f_{i,j}\) 表示仅考虑序列的前 \(i\) 项，其中 \(a_i\) 的取值在离散化后的第 \(j\) 个区间内的方案数，转移就是枚举 \(a_i\) 前面有多少个也在第 \(j\) 个区间内。

具体转移如下（设第 \(j\) 个区间为 \(I_j\) ，区间长度为 \(L_j\) ， \(a_k\) 的取值区间为 \(S_k\) ）：

\[f_{i,j}=\sum_{k=0}^{j-1}f_{i-1,k}{L_j\choose j-k}[\forall k<t\le i,I_j\in S_t] \]

参考代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
	int f;char c;
	for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
	for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	static char q[64];int cnt=0;
	if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
	while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
	while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=10,mod=1000000007;
int mo(const int x){
	return x>=mod?x-mod:x;
}
int power(int a,int x){
	int re=1;
	while(x){
		if(x&1)re=1ll*re*a%mod;
		a=1ll*a*a%mod,x>>=1;
	}
	return re;
}
int inv[maxn],st[maxn],cp[maxn],tp,all[maxn],f[maxn],g[maxn];
int solve(void){
	int cn=0;
	for(int i=1;i<=tp;++i)
		st[i]=cp[i];
	for(int i=1;i<=tp;++i)
		all[cn++]=++st[i],f[i]=0;
	all[cn++]=1;sort(all,all+cn);
	cn=unique(all,all+cn)-all;
	for(int i=1;i<=tp;++i)
		st[i]=lower_bound(all,all+cn,st[i])-all;
	f[0]=1;
	for(int i=0;i<cn-1;++i){
		int len=all[i+1]-all[i];g[0]=1;
		for(int j=1;j<=tp;++j)g[j]=1ll*g[j-1]*inv[j]%mod*(len-j+1)%mod;
		for(int j=tp;j;--j)if(i<st[j]){
			for(int k=j-1;~k;--k){
				f[j]=mo(f[j]+1ll*f[k]*g[j-k]%mod);
				if(i>=st[k])break;
			}
		}
	}
	return f[tp];
}
int a[maxn],id[maxn],n,ans,pos[maxn],mx[maxn];
void dfs(int no){
	if(no==0){
		int cnt=0;
		for(int i=n;i>=1;--i){
			mx[i]=1;
			for(int j=i+1;j<=n;++j){
				if(pos[i]==pos[j]||id[j]>=id[i])continue;
				mx[i]=max(mx[i],mx[j]+1);
			}
			cnt=max(cnt,mx[i]);
		}
		return ans=mo(ans+1ll*cnt*solve()%mod),void();
	}
	int U=1<<no;++tp;
	for(int s=1;s<U;++s){
		cp[tp]=1000000001;
		int up=no;
		for(int i=no;i>=1;--i){
			if((s>>(i-1))&1){
				cp[tp]=min(cp[tp],a[id[i]]);
				pos[up]=tp;swap(id[i],id[up--]);
			}
		}
		dfs(up);
		for(int i=1;i<=no;++i){
			if((s>>(i-1))&1){
				swap(id[i],id[++up]);
			}
		}
	}
	--tp;
}
int main(){
	read(n);int sum=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		read(a[i]),id[i]=i,inv[i]=(i==1?1:1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod),sum=1ll*sum*a[i]%mod;
	dfs(n);write(1ll*ans*power(sum,mod-2)%mod);pc('\n');
	return 0;
}

F Visibility Sequence

这题考场上也没有 A ，不过这题感觉还是比 E 要好想的，可惜我先做的 E ，然后就几乎没有想 F 了。

题意简述

对于一个长度为 \(N\) 的序列 \(\{H\}\) ，定义 \(\{H\}\) 的“特殊序列”为长度也为 \(N\) 的序列 \(\{P\}\) ，满足 \(P_i=\max\{\{j\mid j<i\&\& H_j>H_i\}\cup\{-1\}\}\) 。

现在给定一个长度为 \(N\) 的序列 \(\{X\}\) ，请问对于所有满足 \(1\le H_i\le X_i\) 的序列 \(\{H\}\) ，有多少个不同的“特殊序列”。

\(1\le N\le 100,1\le X_i\le 10^5\) 。

题目分析

说句闲话，这题 \(X_i\) 也可以开到 \(10^9\) 。

方便起见，不妨认为 \(H_0=\infty\) ，这样的话对于 \(1\sim N\) 的每一个数， \(P\) 都不为 \(-1\) 。

考虑在 \(i\) 与 \(P_i\) 中连一条边，那么我们必然会得到一棵树，而这棵树的根就是 \(0\) ，考虑 dfs 这棵树，显然我们能够找到一种方法使得 dfs 序从 \(1\) 到 \(N\) 递增，这个比较好理解，画张图就知道了。

一棵子树管辖的 dfn 序必然是一个区间，这也对应着原序列的一个区间，所以可以考虑使用区间 dp 来做，但是问题是， \(X_i\) 如何处理。

注意到这里的 \(P_i\) 我们求的是本质不同的个数，也就是说，对于相同的 \(P_i\) ，我们只需要找到一个满足特殊序列为 \(P\) 的构造方案即可，由于 \(X_i\) 的限制，所以我们要让这个构造方案给每个 \(i\) 分配的 \(H_i\) 尽可能小，这样就可以尽可能多地构造方案了。

如何分配尽可能小的 \(H\) ？对于某个节点 \(u\) 和它所有的儿子节点 \(\{v\}\) 和在它左边的第一个兄弟节点 \(w\) ， \(H_u\ge\max(\max\{H_v\}+1,H_w)\) ，因为只有这样，才满足我们给它构造的树形结构，那么，我们不妨认为一个构造方案是合法的，当且仅当对于任意的 \(u\) ，都满足 \(H_u=\max(\max\{H_v\}+1,H_w)\) ，不难发现，合法的构造方案中的 \(H_i\) 最大为 \(N+1\) ，并且每一种合法的构造方案都对应着一种方案，并且没有重复。

由此我们可以得知，我们只用统计合法的构造方案即可，这样可以做到不重不漏，并且可以判断是否满足 \(H_i\le X_i\) 。

如何统计？设 \(f_{l,r,x}\) 表示 \([l,r]\) 作为一棵树，根为 \(l\) ，并且 \(H_l=x\) 的合法方案数，那么我们可以枚举断点，然后给 \(l\) 加一棵子树，由于增加的子树导致了 \(H_l\) 的改变：

\[f_{l,r,x}\gets f_{l,r,x}+\sum_{i=l+1}^r(\sum_{y=1}^x(f_{l,i-1,y})\times f_{i,r,x-1}) \]

还有一种情况，就是由于兄弟的 \(H\) 导致了添加子树的 \(H\) 增大：

\[f_{l,r,x}\gets f_{l,r,x}+\sum_{i=l+1}^r(f_{l,i-1,x}\times\sum_{y=1}^{x-2}(f_{i,r,y})\times [X_i\ge x-1]) \]

注意一下后面的 \([X_i\ge x-1]\) ，因为要增大的前提是能够增大。

发现有 \(\sum_{y=1}^xf_{l,i-1,y}\) ，所以直接前缀和优化。

时间复杂度： \(\mathcal O(N^4)\) 。

参考代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
	int f;char c;
	for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
	for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	static char q[64];int cnt=0;
	if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
	while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
	while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=105,mod=1000000007;
int mo(const int x){
	return x>=mod?x-mod:x;
}
int f[maxn][maxn][maxn],g[maxn][maxn][maxn],a[maxn];
int main(){
	int n;read(n);a[1]=++n;
	for(int i=2;i<=n;++i)read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		f[i][i][1]=1;
		for(int j=1;j<=n;++j)
			g[i][i][j]=mo(g[i][i][j-1]+f[i][i][j]);
	}
	for(int len=1;len<n;++len){
		for(int l=1,r=l+len;r<=n;++l,++r){
			for(int x=2;x<=n&&x<=a[l];++x){
				for(int i=l+1;i<=r;++i){
					f[l][r][x]=mo(f[l][r][x]+1ll*g[l][i-1][x]*f[i][r][x-1]%mod);
					f[l][r][x]=mo(f[l][r][x]+1ll*f[l][i-1][x]*g[i][r][x-2]*(a[i]>=x-1)%mod);
				}
			}
			for(int x=1;x<=n;++x)
				g[l][r][x]=mo(g[l][r][x-1]+f[l][r][x]);
		}
	}
	write(g[1][n][n]),pc('\n');
	return 0;
}

总结

自己考试的时候还是太急躁了，一直都在想 E ，后面发现了类似的题目也是做不出来，只能干着急，就没有去想 F 了，真是一大失误。

不过总体成绩还是很好的。

posted @ 2020-10-04 22:14  xiaolilsq  阅读(382)  评论(1)    收藏  举报