[复习资料]博弈论 - 应用篇
博弈论是我很久以前搞过的东西了，已经忘得差不多了，现将其整理成两篇博客：
本篇是应用篇。
经典游戏
Bash 博弈（巴什博奕）：
\(n\) 个石子，每次最多取 \(m\) 个石子，不可操作者判负。
先手必败当且仅当 \((m+1)\mid n\) ，证明较简单，略。
Wythoff 博弈（威佐夫博弈）：
两堆数量为 \(a\) 和 \(b\) 的石子，每次可以选一堆取走任意多的石子，或者两堆取走相同多的石子，不可操作者判负。
这个直接参考这篇博客吧：《从威佐夫博弈看博弈论——一类有趣的整数集划分问题》 。
nimk 博弈：
若干堆石子，每次最多选择 \(k\) 堆最少选择 \(1\) 堆拿走任意多石子，不可操作者判负。
设 \(cnt(i)\) 表示每堆石子换算成二进制之后第 \(i\) 位为一的石子堆数量，打表发现，先手必败当且仅当 \(\forall i\in N,(k+1)\mid cnt(i)\) 。
证明：
相当于是要证明这两条结论，
一、当每一位 \(\bmod (k+1)\) 为 \(0\) 时，不可能通过接下来的一次操作实现每一位 \(\bmod (k+1)\) 为0；
二、当存在一些位数 \(\bmod (k+1)\) 不为 \(0\) 时，可以通过一次操作实现每一位 \(\bmod (k+1)\) 为 \(0\) 。
第一条结论的证明：首先，不可能只改变某一位的 \(0\) 或者是 \(1\) ，因为最多改变 \(k\) 堆，如果要满足，至少要改变 \(k+1\) 堆，那么要改变的那一位肯定是要改变 \(0\) 同时改变相同数量的 \(1\) 的，既然要改变 \(0\) ，说明比它高的某一位的 \(1\) 也要改变（因为每次改变石子数不会增大），既然比它高的那位 \(1\) 要改变，那么 \(0\) 也要改变相应的数量，这样推下去会发现不存在最高位，显然不符，所以结论成立。
第二条结论的证明：从高位往低位考虑，假设比当前考虑的位高的位中一共改变了 \(d\) 个 \(1\) ，然后它们在当前位中有 \(x\) 个是 \(1\) ， \(y\) 个是 \(0\) ，那么有 \(d=x+y,d\le k\) ，当前位有 \((k+1)\times h+t(t\le k)\) 个 \(1\) ，分类讨论：
- 如果 \(t\le x\) 那么可以改变当前位的 \(t\) 个 \(1\) ；
- 如果 \(k+1-t\le y\) 那么可以改变当前位的 \(k+1-t\)个 \(0\) ；
- 如果前两个都不满足，那么有 \(t>x\) 并且 \(k+1-t>y\) ，那么可以改变所有的 \(t\) 个 \(1\) （包括可以改变的 \(x\) 个 \(1\) ），此时总共改变了 \(t-x+d\) 堆石子， \(t-x+d=t+y<t+k+1-t=k+1\) ，所以此时并没有超过最多可以改变的石子堆数，可以满足要求。
staircase nim 博弈（阶梯博弈）：
若干个阶梯，每个阶梯上有若干石子，每次在一个非 \(0\) 层阶梯上选择任意多石子移到下一层，不可操作者判负。
如果对方从第 \(i(i\ge 2)\) 层移动 \(k\) 个石子到第 \(i-1\) 层，我就可以从第 \(i-1\) 层移动 \(k\) 个石子到 \(i-2\) 层，所以如果只有偶数层有石子，那么此时先手是必败的，所以我们不妨认为所有偶数层都是第 \(0\) 层，于是乎从奇数层移动石子就相当于是丢掉石子，所以原问题就相当于是给奇数层的石子做 NIM 游戏。
一些简单思维游戏
参考自《算法竞赛入门经典训练指南》。
chomp! 游戏：
有一个 \(n\times m\) 的棋盘，每次取走一个方格并拿走它右边和上面（右上）所有方格，不可操作者判胜。
如果 \(n=m=1\) ，显然先手必败。
否则，不妨假如先手必败，那么去掉了 \((n,m)\) 的棋盘状态肯定是必胜，那么必然存在一种取法得到的状态是必败，而这种取法得到的最终结果先手第一步一定可以实现（ \((n,m)\) 在所有格子的右上角），由此推出必败态可以转移到必败态，显然是错误的，所以得出答案是先手必胜。
约数游戏：
有 \(1\sim n\) 个数字，两个人轮流选一个数，并把它和它的所有约数擦去，不可操作者判负。
如果 \(n=1\) ，显然先手必胜。
否则用一样的方法，不妨假设先手必败，那么去掉了数字 \(1\) 的状态肯定是必胜，那么必然存在一种取法得到的状态是必败，而这种取法得到的最终结果先手第一步一定可以实现（ \(1\) 是任何数的约数），由此推出必败态可以转移到必败态，显然是错误的，所以得出答案是先手必胜。
翻棋子游戏：
一个棋盘上每个格子有一个棋子，每次操作可以随便选一个朝上的棋子 \((x,y)\) （代表第 \(x\) 行第 \(y\) 列的棋子），选择一个形如 \((x,b)\) 或者 \((a,y)\) （其中 \(0\le b<y,0\le a<x\) ）的棋子，然后把它和 \((x,y)\) 一起翻转，不可操作者判负。
每次操作可以看作是一次棋子的移动，那么每次操作要么就是减小 \(x\) ，要么就是减小 \(y\) ，由于横纵坐标相对是独立的，所以可以把横纵坐标分开考虑，把一个朝上的棋子 \((x,y)\) 看作是两堆石子，一堆石子的数量是 \(x\) ，另一堆是 \(y\) ，接下来就是做 NIM 游戏了。
但是这样还是有一个问题，就是可能会一次把两个棋子都由正面变成反面，但是这样对 NIM 游戏的分析是没有影响的，读者可以自己想一想为什么。
除法游戏：
有一个 \(n\times m\) 的矩阵，每个元素均为 \(2\sim 10000\) 之间的正整数，每次操作可以选择一行中的 \(1\) 个或多个大于 \(1\) 的整数，把它们中的每个数变成它的某个真因子，不可操作者判负。
对于某一个正整数 \(x\) ，我们究竟关心的是什么？不妨将 \(x\) 质因数分解为 \(p_1^{t_1}p_2^{t_2}\dots p_y^{t_y}\) ，如果把 \(x\) 变成了它的一个真因子，那么我们肯定是减小了至少一个 \(t_i\) ，也就是 \(\sum t_i\) 至少减小了 \(1\) ，由于 \(t\) 之间是没有任何区别的，所以我们关心的仅仅是 \(\sum t_i\) ，发现同一行的数与数之间也是没有区别的，所以可以把每行的数一起考虑，剩下的就是 NIM 游戏了。
\(\operatorname{SG}\) 函数和 \(\operatorname{SG}\) 定理的应用
由于作者很懒，所以打算丢几篇博客跑路。
一些 \(\operatorname{SG}\) 函数和 \(\operatorname{SG}\) 定理的应用的例子。
例题选讲
洛谷P3185 [HNOI2007]分裂游戏
Link：https://www.luogu.com.cn/problem/P3185
把第 \(i\) 个瓶子了的豆子看作是数量为 \(n-i-1\) 的一堆石子，那么每次操作相当于是将一堆石子变成数量比它少的两堆石子，由于 \(2\le n\le 21\) 很小，直接算出数量为 \(1\dots n-1\) 的石子的 \(\operatorname{SG}\) 函数值，用 \(\operatorname{SG}\) 定理，看异或起来是不是 \(0\) 就行了。
输出方案直接枚举选哪三个，判一下选完后的 \(\operatorname{SG}\) 函数值是否合法就行了。
洛谷P5675 [GZOI2017]取石子游戏
Link：https://www.luogu.com.cn/problem/P5675
博弈论加计数，考虑动规，记 \(dp_{i,j}\) 表示选出的石子堆包含编号为 \(i\) 的石子且除 \(i\) 以外的石子数量异或起来为 \(j\) 的方案数，若编号为 \(i\) 的石子堆数量为 \(a_i\) ，那么答案便是 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=a_i}dp_{i,j}\) （此时 Alice 的第一次操作就不可以使得 Bob 拿到必败态了），记值域最大为 \(x\) ，时间复杂度 \(\mathcal O(n^2x)\) 。
洛谷P3480 [POI2009]KAM-Pebbles
Link：https://www.luogu.com.cn/problem/P3480
相当于是对相邻两堆石子的差做阶梯 NIM 游戏。
poj1740 A New Stone Game
Link：http://poj.org/problem?id=1740
题意就是给定 \(n\) 堆石子，每次选择一堆数量大于 \(0\) 的石子，然后丢掉这堆石子中至少一颗石子（可以更多），然后从这堆石子中选任意多的石子任意分配到其他数量非 \(0\) 的石子处，无法操作者算输。
用手玩和打表等方法可以猜出以下结论（其实我也没有好方法找结论的）：
若 \(n\) 为偶数且恰好可以分成 \(n/2\) 份使得每份的两堆数量相等，先手必败；否则先手必胜。
证明：
必胜态至少可以转移到一种必败态：
若 \(n\) 为奇数，排序后可以保证 \(a_n>(a_{n-1}-a_{n-2})+(a_{n-3}-a_{n-4})+\dots+(a_2-a_1)\) ，直接把 \(a_{n-2k}\) 变成 \(a_{n-2k+1}\) ，剩下的丢掉就可以变成必败态了；
若 \(n\) 为偶数，排序好可以保证 \(a_n>(a_{n-1}-a_{n-2})+(a_{n-3}-a_{n-4})+\dots+(a_3-a_2)+a_1\) （这个解释一下，令 \(a_0=0\) ，因为 \(a_n=\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}(a_{2i+1}-a_{2i})+\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}(a_{2i+2}-a_{2i+1})\) ，由于有 \(\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}(a_{2i+2}-a_{2i+1})>0\) ，所以 \(a_n>\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}(a_{2i+1}-a_{2i})\) ），直接把 \(a_{n-2k}\) 变成 \(a_{n-2k+1}\) ，剩下的拿到 \(a_1\) 就变成必败态了。
必败态无论如何都不可能变成必败态，这个读者可以自己证明一下。
当 \(n=0\) 时，也满足必败态的要求。
所以原结论成立。
洛谷P2599 [ZJOI2009]取石子游戏
Link：https://www.luogu.com.cn/problem/P2599
此神仙题不可做（确信
记 \(L_{l,r}\) 表示如果在 \(l\) 到 \(r\) 这个区间左边添上一堆石子数量为 \(L_{l,r}\) 的石子堆时先手必败，记 \(R_{l,r}\) 表示如果在 \(l\) 到 \(r\) 这个区间右边添上一堆石子数量为 \(R_{l,r}\) 的石子堆是先手必败。
首先证明 \(L_{l,r}\) 和 \(R_{l,r}\) 唯一，假设 \(L_{l,r}\) 存在两个取值 \(x,y(x<y)\) ，那么当添上去的石子堆数为 \(y\) 时先手可以把 \(y\) 拿成 \(x\) ，换成后手拿，此时后手必败，先手必胜，与假设矛盾（当添上去石子数为 \(y\) 时先手必败），所以 \(L_{l,r}\) 唯一， \(R_{l,r}\) 同理。
接下来证明 \(L_{l,r}\) 和 \(R_{l,r}\) 存在，假设 \(L_{l,r}\) 不存在，即无论在左边添上去的石子数量为多少，先手都必胜，假设左边添上 \(x\) ，那么先手必然不会拿左边的这个 \(x\) ，因为拿了后还是必胜态，所以先手会从右边拿，那么在拿完后无论 \(x\) 为多少都是必败态，后手如果拿了左边的 \(x\) 得到的还是必败态，与“无论 \(x\) 为多少都是必败态矛盾”，所以 \(L_{l,r}\) 存在， \(R_{l,r}\) 同理。
再证明一些结论吧：
引理一：
若 \(L_{l,r}=0\) ，那么 \(R_{l,r}=0\) （ \(R_{l,r}=0\) 时同理）。因为 \(L_{l,r}=0\) ，局面为 \((0,[l,r])\) 即 \(([l,r])\) 时先手必败。假设 \(R_{l,r}\ne 0\) ，那么先手可以直接把右边拿成 \(0\) ，此时局面变成 \(([l,r])\) ，后手操作，所以后手必败，与原先假设先手必败矛盾，所以结论成立。
考虑 \(L_{l,r}\) 如何转移（ \(R_{l,r}\) 同理）：
方便起见，记 \(L=L_{l,r-1},R=R_{l,r-1},x=a_r\) 。
\(\mathsf{Case 1: x=R}\)
\(L_{l,r}=0\) 。相当于原本就是必败态。
\(\mathsf{Case 2: x<L,x<R}\)
\(L_{l,r}=x\) 。由必胜必败态的定义可以知道当石子数量为 \((0\sim L-1,[l,r-1])\) 或者 \(([l,r-1],0\sim R-1)\) 时先手必胜。可以在左边添上一堆数量为 \(x\) 的石子，此时先手从哪一边拿石子，后手就从另一边拿相同数量的石子，此时必然会有一堆先被拿完，拿完后操作方变成后手，局面变为 \((0\sim L-1,[l,r-1])\) 或 \(([l,r-1],0\sim R-1)\) ，后手必胜。
\(\mathsf{Case 3: R<x\le L}\)
\(L_{l,r}=x-1\) 。假设先手拿左边，左边剩 \(y\) 个石子：若 \(y<R\) ，后手可以直接把右边拿成 \(y\) ，变成 \(\mathsf{Case 2}\) 里面的情况；若 \(y\ge R\) ，后手把右边拿成 \(y+1\) ，回到 \(\mathsf{Case 3}\) 。假设先手拿右边，右边剩 \(y\) 个石子：若 \(y=R\) ，如果 \(R\ne 0\) ，左边剩余石子数必然大于 \(0\) ，后手直接把左边拿完，变成 \(\mathsf{Case 1}\) ，否则 \(R=0\) ，由引理一得到 \(L=0\) ，不存在 \(R<x\le L\) ，即该情况不存在；若 \(y<R\) ，那么先手上一步至少拿了两个石子（ \(y\ge R+1\to y\le R-1\) ），左边石子数量必然大于 \(y\) ，后手可以把左边拿成 \(y\) ，变成 \(\mathsf{Case 2}\) ；若 \(y>R\) ，后手把左边拿成 \(y-1\) ，回到 \(\mathsf{Case 3}\) 。
\(\mathsf{Case 4: L\le x<R}\)
\(L_{l,r}=x+1\) 。这个和 \(\mathsf{Case 3}\) 类似，建议读者先自己想想。假设先手拿左边，左边剩 \(y\) 个石子：若 \(y=L\) ，如果 \(L\ne 0\) ，右边剩余石子数必然大于 \(0\) ，后手直接把右边拿完，变成 \(\mathsf{Case 1}\) ，否则 \(L=0\) ，由引理一得到 \(R=0\) ，不存在 \(L\le x<R\) ，即该情况不存在；若 \(y<L\) ，那么先手上一步至少拿了两个石子（ \(y\ge L+1\to y\le L-1\) ），右边石子数量必然大于 \(y\) ，后手可以把右边拿成 \(y\) ，变成 \(\mathsf{Case 2}\) ；若 \(y>L\) ，后手把右边拿成 \(y-1\) ，回到 \(\mathsf{Case 4}\) 。假设先手拿右边，右边剩 \(y\) 个石子：若 \(y<L\) ，后手可以直接把左边拿成 \(y\) ，变成 \(\mathsf{Case 2}\) ；若 \(y\ge L\) ，后手把左边拿成 \(y+1\) ，回到 \(\mathsf{Case 4}\) 。
\(\mathsf{Case 5: x>L,x>R}\)
\(L_{l,r}=x\) 。分类讨论后不难变成以上四种 \(\mathsf{Case}\) ，请读者自行思考。
\(R_{l,r}\) 和 \(L_{l,r}\) 的求解类似，不再赘述。
最后只要判断一下 \(L_{2,n}\) 是否等于 \(a_1\) 就可以判断胜负了。
题单
类型和提示都写在下面了，可以选择自己想做的做一下。
求必胜必败态类：
hdu1846 Brave Game （威佐夫博弈）：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846
hdu2516 取石子游戏 （斐波那契博弈）：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2516
hdu1849 Rabbit and Grass （nim游戏变体）：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1849
hdu1730 Northcott Game （nim游戏变体）：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1730
poj1740 A New Stone Game （新题目）：http://poj.org/problem?id=1740
poj1704 Georgia and Bob （nim游戏变体）：http://poj.org/problem?id=1704
luoguP3480 [POI2009]KAM-Pebbles （nim游戏变体）：https://www.luogu.com.cn/problem/P3480
luoguP4018 Roy&October之取石子 （神仙题目）：https://www.luogu.com.cn/problem/P4018
luoguP4860 Roy&October之取石子II （神仙题目）：https://www.luogu.com.cn/problem/P4860
UVA1378 A Funny Stone Game （SG函数应用）：https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1378
luoguP3185 [HNOI2007]分裂游戏 （SG函数应用，同A Funny Stone Game）：https://www.luogu.com.cn/problem/P3185
luoguP2594 [ZJOI2009]染色游戏 （一类翻硬币游戏的二维扩展）：https://www.luogu.com.cn/problem/P2594
luoguP2599 [ZJOI2009]取石子游戏 （神仙题目）：https://www.luogu.com.cn/problem/P2599
poj3710 Christmas Game （无向图删边游戏弱化版：带环树）：http://poj.org/problem?id=3710
IPSC 2003 Problem G – Got Root? （无向图删边游戏标准版）：https://ipsc.ksp.sk/2003/real/problems/g.html
求方案数类：
luoguP5675 [GZOI2017]取石子游戏 （nim游戏）：https://www.luogu.com.cn/problem/P5675
luoguP2490 [SDOI2011]黑白棋 （nimk游戏变体）：https://www.luogu.com.cn/problem/P2490
特殊类：
luoguP3210 [HNOI2010]取石头游戏 （神仙题目）：https://www.luogu.com.cn/problem/P3210
博弈论重点是思考的方式。
参考博客：
《【算法】 博弈论入门笔记》：https://www.mina.moe/archives/5564
《【算法】 博弈论》：https://www.mina.moe/archives/5533
《愚者千虑,必有一得——博弈论》：https://blog.csdn.net/kyleyoung_ymj/article/details/51494139
《博弈论变形》：https://www.luogu.com.cn/blog/wageneral/bo-yi-lun-bian-xing
《从威佐夫博弈看博弈论——一类有趣的整数集划分问题》：https://www.luogu.com.cn/blog/55201/zong-wei-zuo-fu-bo-yi-kan-bo-yi-lun-yi-lei-you-qu-di-zheng-shuo-ji-hu
结尾
本篇博客主要讲了一些博弈论的简单应用并整理了相关题单。
希望对你有帮助。
