6n+5

一道《什么是数学》中的习题。

题目：证明数列6n+5中素数有无数个。

证明（反证法）：

1)  任何大于2的素数都是奇数（否则该数能被2整除），因此素数必然是下列三种形式之一：6n+1, 6n+3, 6n+5。

2)  形如6n+1的数的乘积仍然是6n+1的形式，这是因为：(6a + 1)(6b + 1) = 6(6ab + a + b) + 1

3)  形如6n+3的数的乘积仍然是6n+3的形式，这是因为：(6a + 3)(6b + 3) = 6(6ab + 3b + 3b +1) + 3

4)  形如6n+1的数和形如6n+3的数的乘积是6n+3的形式，这是因为：(6a + 1)(6b + 3)= 6(6ab + 3a + b) + 3

在理解了上述4个结论后，现在假设在数列6n+5中只有有限个素数，分别是p1, p2, p3, ... pn。现在考虑如下数N:

N = 6(p1*p2*p3...pn) - 1 = 6(p1*p2*p3...pn - 1) +5

N或者本身是一个素数，或者它能分解为一些素数的乘积。

若N为素数，其为6n+5的形式，而又不是p1,p2,...pn中的某一个数，所以原假设错误。

若N能分解为一些素数的乘积，则这些素数中没有一个是p1,p2,...pn(因为它们都不能被N整除）。另外，由上面的4条结论可知N的所有素数因子不能都是6n+1和6n+3的形式，因为N并不是6n+1或6n+3的形式。由此可见，至少有一个因子是6n+5的形式，而这是不可能的，因为假设p1,p2,...pn为所有6n+5形式的素数且不为N的因子。所以假设错误。

最后得证：6n+5数列中有无数个素数。