Luogu8054 solution

Problem

对于每一个正整数 \(x\)，有 \(x=p_1^{c_1} \cdot p_2^{c_2} \cdot ... \cdot p_n^{c_n}\)。

\(f(x)=\sum_{i=1}^n c_i\)。

问对于 \(x\) 是否有一个 \(y\)，使 \(f(y)>f(x)\) 并 \(y < x\)。

link->https://www.luogu.com.cn/problem/P8054

Solution

首先 \(f(x)=a\)，已知 \(a\)，最小的 \(x\) 很明显是 \(2^a\)，而不是 \(2^{a-1} \cdot 3^1\) 或是 \(3^a\) 之类的。

配合上结论，如果要求 \(f(y)>f(x)\) 也就是说最小满足此要求的 \(y\) 为 \(2^{f(x)+1}\)。

最暴力的想法：使用 \(O(\sqrt{n})\) 的时间计算出 \(f(x)\)，然后用 \(O(1)\) 的时间判断 \(2^{f(x)+1}<x\) 是否成立。

总时间复杂度 \(O(T \cdot \sqrt{n})\)，数据极限情况约 \(O(10^{10})\)。

引理：

一个 \(>3\) 的奇数，满足题目条件。

证明：

• 对于 \(5\)，\(f(5)=1\)，有一个 \(f(4)=2>f(5)\)。

• 对于 \(7\)，\(f(7)=1\)，有一个 \(f(4)=2>f(7)\)。

• 对于 \(9\)，\(f(9)=2\)，有一个 \(f(8)=3>f(9)\)。

……

根据数学归纳法，如果一奇数 \(x\) 满足条件（假设满足条件的最小答案为 \(y\)），那么对于一奇数 \(k\)，\(f(x \cdot k)=f(x)+f(k)\)，则 \(f(y \cdot k)=f(y)+f(k) > f(x \cdot k)=f(x)+f(k)\)，\(x \cdot k\) 满足条件。

接下来考虑 \(x\)，为偶数的情况：首先一个偶数可以写成 \(a=2^b \cdot x\) \((b>0,x\%2=1)\)，当奇数 \(x\) 满足情况时（假设满足条件的最小答案为 \(y\)），\(f(y \cdot 2^b)=f(y)+b>f(a)=f(x)+b\)。

满足条件。