ABC131D solution

Problem

link->https://atcoder.jp/contests/abc131/tasks/abc131_d。

Solution

很明显，这是一道贪心。

我们选择以完成期限为第一关键字，以完成时间为第二关键字进行排序。

为什么呢？我们是在保证完成任务的情况尽量选择最优解，所以我们肯定要保证每一个任务首先要在完成期限内，故以完成期限为第一关键字。

可能还有人觉得这并不严谨，万一有两个任务 \(A\) 和 \(B\)，如果 \(A\) 的完成期限早，但时间长；而 \(B\) 完成期限晚，但时间长。如果以完成期限为第一关键字，那么先干 \(A\)，时间较长，虽然 \(A\) 完成了任务但也导致了 \(B\) 的拖延而没办法完成该怎么办呢？

事实上，是不会出现这样子的事情。我们设 \(A\) 任务完成期限为 \(a\)，时间长 \(b\)；\(B\) 任务完成期限 \(c\)，时间长 \(d\)（\(a\le c,d\le b\)）并当前时间为 \(t\)。我们需要证明如果先干 \(B\) 能完成任务，那么先干 \(A\) 也一定能完成任务。如果先干 \(B\) 能完成任务，那么也就保证 \(t+d\le c\) 和 \(t+d+b\le a\)。有了以上条件，我们容易证明

• \(t+b\le a\)；
• \(t+b+d\le c\)。

为什么呢？首先第一点明显成立：\(t+d+b\le a\)，\(d\) 为正整数，则 \(a\ge t+d+b>t+b\)；第二点，\(a\le c\)，既然 \(t+d+b\le a\) 那么自然也 \(t+d+b\le a\le c\)。

同时容易看出，如果 \(A\) 和 \(B\) 为相邻的任务，那么交换他们，也仅仅影响到 \(A\) 和 \(B\) 的完成。

证毕。

综上所述，我们使用完成期限为第一关键字进行排序，我们可以考虑用 std::pair 将他们保存起来，使用 .first 代表完成期限（第一关键字），.second 为第二关键字，由于 pair 自动使用 .first 为第一关键字进行排序，所以用起来还是蛮方便的。

接下来模拟即可。