Luogu7993 solution

Problem

在仅包含字符 H 和 G 的字符串 \(s\) 中，有多少个子串满足：

• 包含一个 H，包含至少两个 G；
• 包含一个 G，包含至少两个 H。

link->https://www.luogu.com.cn/problem/P7993

Solution

第一反应是枚举字符串左端点 \(l\)，右端点 \(r\)，然后统计在 \([l,r]\)，范围内 G 和 H 分别出现的次数。时间复杂度 \(Θ(n^3)\)，前缀和优化后 \(Θ(n^2)\)，面对 \(n \le 5 \cdot 10^5\) 的数据范围望而生畏。

既然打暴力行不通，那么只能考虑数学解法：

仔细观察满足条件的子串要求，发现了什么？有一个字符只出现一次！

根据这个条件，我们可以设计出合理的算法：枚举满足要求的子串中心点 \(s_i\) （即只出现一次的那个字符的位置）。如果它可以像左拓展至 \(l\)（即 \(s_{l-1}=s_i\)），可以像右拓展至 \(r\)（即 \(s_{r+1}=s_i\)），那 端点在 \([l,r]\) 之间且经过 \(i\) 的子串（长度 \(len \ge 3\)）均满足要求！

最坏情况时间复杂度 \(Θ(n^2)\)，预处理每个 \(i\) 的 \(l\) 和 \(r\) 后 \(Θ(n)\)，完美通过此题。

更多细节在代码中展示。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long //注意这个测试点的答案可能无法用标准的 32 位整数型存储
using namespace std;
const int N=5e5+5;
int pre[N],nxt[N],n,ans;
signed main() {
	string s;
	cin>>n>>s;
	int preH=-1,preG=-1; //左端点初值默认-1
	for(int i=0;i<s.size();i++) { //预处理l
		if(s[i]=='H') pre[i]=preH,preH=i;
		if(s[i]=='G') pre[i]=preG,preG=i;
	}
	int nxtH=n,nxtG=n; //右端点初值默认n
	for(int i=s.size()-1;i>=0;i--) { //预处理r
		if(s[i]=='H') nxt[i]=nxtH,nxtH=i;
		if(s[i]=='G') nxt[i]=nxtG,nxtG=i;
	} 
	for(int i=0;i<s.size();i++) {
		ans+=(i-pre[i])*(nxt[i]-i)-1;
		/*根据乘法原理，端点在[l,r]之间且经过i的子串个数为左可拓展长度*右可拓展长度*/
		if(nxt[i]!=i+1) --ans; //处理长度小于3的子串
		if(pre[i]!=i-1) --ans;
	} 
	printf("%lld",ans);
	return 1;
}