Luogu8143 solution

Problem

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Solution

很明显，排列 \(p\) 的生产图要么为偶环图，要么为奇环图。

引理：如果 \(p\) 的生产图为偶环数，那么交换其中任意两项 \(a_i\) 和 \(a_j\)，新的排列 \(p_1\) 的生产图为奇数环，反之亦然。

证明：设交换前共 \(x\) 环，则有两种情况：

• 如果两点处于同一环，交换则后该环分裂成两个环，因为原图有边无项边 \((i,a_i)\) 及 \((j,a_j)\) 处于同一环中，如交换则变成 \((i,a_j)\) 及 \((j,a_i)\) 原来的环的两条边断裂，而新的两条边则又形成两个封闭环形。此刻有 \(x+1\) 个环。
• 如果两点不处于同一环，交换后该环合并成同一环。原因同上。此刻有 \(x-1\) 个环。

由于 \(x\) 和 \(x-1\) 或 \(x+1\) 的奇偶性不同，故成立。

证毕。

\([1,n]\) 的所有排列共有 \(n!\) 种，而交换每个排列的其中两项该图奇偶性改变，则偶图（或奇图）的个数为 \(\frac{1}{2}n!\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int MOD=998244353;
signed main() {
	int ans=1,n;
	scanf("%lld",&n);
	if(n==1) return 0&puts("0");
	for(int i=3;i<=n;i++)
		ans=ans*i%MOD;
	printf("%lld",ans);
	return 1;
}