Luogu8219 solution

Problem

函数 \(f(x)\) 代表 \(x\) 的第二大约数。求 \(\max\limits_{L\le x\le R}\{f(x)\}\)。

link->https://www.luogu.com.cn/problem/P8219

Solution

如果 \(x\) 是偶数的话，那么 \(f(x)\) 无疑是 \(\frac{x}{2}\)。如果 \(x\) 是奇数，那么 \(f(x)\) 最大是 \(\frac{x}{3}\)，当然 \(3\) 可能无法整除 \(x\)，那么这时 \(f(x)\) 便是 \(\frac{x}{\min\limits_{5\le k\le\infty}\{k\mid x\bmod k=0 \}}\) 了。

我们可以设计一个算法：

当 \(R\) 为偶数时直接输出 \(\frac{R}{2}\) 即可。

那么当 \(R\) 为奇数呢？由于题目要求 \(L<R\)，所以 \(R-1\ge L\)，也就是对于 \([L,R)\) 这个区间里的最大的 \(f(x)\) 是 \(\frac{R-1}{2}=\frac{R}{2}-\frac{1}{2}\)，而 \(f(R)\) 最大是 \(\frac{R}{3}\)，而 \(\frac{R-1}{2}\ge \frac{R}{3}\)，所以当 \(R\) 为奇数时，答案是 \(\frac{R-1}{2}\)。

值得一提的是，当 \(R\) 为奇数时，\(\frac{R-1}{2}=\lfloor\frac{R}{2}\rfloor\)，而 int 自动向下取整。

所以直接输出 \(\frac{R}{2}\) 即可。