Luogu8284 solution

Problem

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Solution

在此之前，先让我们看一个显然成立的柿子：

\[\gcd(\underbrace{a,a,\cdot\cdot\cdot,a,a}_{\texttt{若干个相同的正整数} a})=a \]

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容易发现，由于每个 \(\forall a_i(1\le i<n)\) 都是由 \(a_{i+1}\sim a_n\) 推出的，则如果我们固定了 \(a_n\)，可以推出 \(a_{n-1}\)，再推出 \(a_{n-2}\)……一直到推出整个序列 \(\{a_n\}\)。

引理：\(\forall a_i\) 满足 \(a_i=n\)。

证明：数学归纳法。

• \(i=n\) 时明显满足条件。

• 当 \(i+1\sim n\) 均满足条件时，\(a_i=\gcd(a_{i+1},a_{i+2},\cdot\cdot\cdot,a_n)\) 而对于任意 \(k>i\) 的 \(a_k\) 均满足条件，则上式变为 \(\gcd(a_n,a_n,\cdot\cdot\cdot,a_n,a_n)=a_n\)。

• 证毕。

则该序列的所有元素的值都是 \(a_n\)，一个元素出现了 \(n\) 次，如果 \(k<n\) 则本题无解。

反之由于 \(a_n\) 有 \(10^5\) 种取法，一定超出 \(5\) 种，则我们只需要依次输出 \(a_n=1,2,3,4,5\) 的情况即可。