格路计数

最简单的问题：

从 \((0,0)\) 开始，只能往上或往右走，问有多少种方案可以走到 \((n,m)\)。

注意到一共 \(n+m\) 步，必须向上走 \(m\) 步，向右走 \(n\) 步，所以方案数为 \({n+m\choose m}\)。

卡特兰数：

从 \((0,0)\) 开始，只能往上或往右走，不经过直线 \(y=x+1\)，问有多少种方案可以走到 \((n,n)\)。

我们考虑容斥，算出经过直线 \(y=x+1\) 而且到达 \((n,n)\) 的方案数。

我们找到第一次经过 \(y=x+1\) 的那个点，将后面的折线沿 \(y=x+1\) 翻折过去，终点变成了 \((n-1,n+1)\)，我们发现这样的构造的映射是一个双射，可以把每一种不合法方案和 \((0,0)\to(n-1,n+1)\) 的方案构成双射，所以不合法方案就是 \({2n\choose n-1}\)，所以我们就可以得到卡特兰数的公式为 \(H_n={2n\choose n}-{2n\choose n-1}\)。

我们将这种技巧叫做反射容斥。

再扩展一点点：

从 \((0,0)\) 开始，只能往上或往右走，不经过直线 \(y=x+b\)，问有多少种方案可以走到 \((n,m)\)。

类似地，我们找到第一次经过 \(y=x+b\) 的那个点，将后面的折线沿着 \(y=x+b\) 翻折过去就会得到与不合法方案的一组双射，终点对称过去得到 \((m-b,n+b)\)，可以得到答案为 \({n+m\choose n}-{n+m\choose m-b}\)。

两条线的格路计数：

从 \((0,0)\) 开始，只能往上或往右走，不经过直线 \(y=x+l\) 和 \(y=x+r\)，问有多少种方案可以走到 \((n,m)\)。

首先，若 \(l,r\) 同号就相当于一条线的格路计数用上面的方法就行了。

若 \(l,r\) 异号，我们仍然考虑容斥，找到第一次经过直线的那个点，将后面的折线翻折，但是我们发现这样并不是双射，如果这个路径两条直线都经过了，那么会算重，所以考虑继续容斥将答案加上两条直线都经过的方案数。

两条直线都经过可以分为先经过 \(y=x+l\) 再经过 \(y=x+r\)，或者反过来，简写为 \(\text{LR}\) 和 \(\text{RL}\)，但是这样直接算也会算重，还要继续容斥，减去 \(\text{LRL}\) 和 \(\text{RLR}\) 的答案，这样一直容斥下去就可以得到正确答案，即：

\[ans=f(\varnothing)-f(\text L)-f(\text R)+f(\text{LR})+f(\text{RL})-f(\text{LRL})-f(\text{RLR})+\cdots \]

注意，这里重复经过一条直线算一次。

其中 \(f(s)\) 表示路径经过两条直线的点的前缀为 \(s\) 的方案数，这个可以用反射容斥做，这个是双射，化简后最终答案是：

\[ans=\sum_k\left({n+m\choose n-k(r-l)}-{n+m\choose n-k(r-l)+r}\right) \]

虽然这个 \(k\) 取遍所有整数，但是使得组合数不为 \(0\) 的 \(k\) 只有 \(O(\frac{n+m}{r-l})\) 个，我们可以对这个做根号分治。

另一个做法：

把坐标系顺时针旋转 45 度，就变成了两条水平的线，每次只能往右上或右下走，设两条线为 \(y=0\) 和 \(y=b\)，你需要从 \((0,a)\) 走到 \((n,m)\)。

这其实就相当于求出一个整数序列相邻项的差的绝对值为 \(1\)，且每个数要在 \([0,b)\) 的范围内的方案数。

一个巧妙的 trick，考虑镜像法，写出序列 \([0,1,2,\cdots,b,b-1,b-2,\cdots,1]\)，并把它接成环，那么每一次移动就是在环上左右移动，没有边界限制了，这就可以直接用 \((x+1/x)^n\bmod x^{2b}\) 计算方案数。