斯特林数

组合数学核心概念：第二类斯特林数与球盒模型

整理核心公式与模型，清晰呈现组合计数逻辑

一、第二类斯特林数（\(\left\{ n \atop m \right\}\) / \(S_2(n,m)\)）

定义：\(n\) 个不同元素放入 \(m\) 个非标号、非空盒子的方案数（盒子无区别，不可空）

1. 递推关系

\[\left\{ n \atop m \right\} = \left\{ n-1 \atop m-1 \right\} + m \cdot \left\{ n-1 \atop m \right\} \]

• 解释：第 \(n\) 个元素单独放新盒（对应 \(\left\{ n-1 \atop m-1 \right\}\) ），或放进已有 \(m\) 个盒之一（对应 \(m \cdot \left\{ n-1 \atop m \right\}\) ）

2. 容斥公式

\[\left\{ n \atop m \right\} = \frac{1}{m!} \sum_{i=0}^m (-1)^{m-i} \binom{m}{i} \cdot i^n \]

• 思路：用容斥原理计算“恰好 \(m\) 个非空盒”的方案数（总放法 \(-\) 至少空1盒 \(+\) 至少空2盒 \(\dots\) ）

3. 贝尔数（Bell Number）

\(n\) 个元素所有划分方式的总数（盒子可空、非标号）：

\[B(n) = \sum_{i=0}^n \left\{ n \atop i \right\} \]

二、球盒模型汇总（\(n\) 球，\(m\) 盒）

按球是否不同、盒是否不同分类，整理核心场景与公式：

模型条件（球、盒是否不同）	具体限制	方案数公式/思路
球不同，盒不同	无限制	\(m^n\)（每个球独立选盒）
	盒中至多1个球	\(\dbinom{m}{n} \cdot n! = P(m,n)\)（排列：选 \(n\) 盒放球并排列）
	盒中至少1个球	\(\sum_{i=0}^m (-1)^i \binom{m}{i} (m-i)^n\)（容斥：总放法 \(-\) 至少空盒的情况）
球不同，盒相同	无限制	\(\sum_{i=0}^m \left\{ n \atop i \right\}\)（所有非空划分方式求和）
	盒中至多1个球	\(1\)（仅当 \(n \leq m\)，等价“单元素/空集划分”，无区别时仅1种）
	盒中至少1个球	\(\left\{ n \atop m \right\}\)（直接对应第二类斯特林数定义）
球相同，盒不同	无限制	\(\dbinom{n+m-1}{m-1}\)（隔板法：\(n\) 球排开，\(m-1\) 个板分 \(m\) 组）
	盒有容量限制（如 \(x_i \leq A\) 或 \(x_i \geq B\)）	容斥调整隔板法（减去/补充超过限制的情况）
球相同，盒相同	无限制	动态规划：\(f(n,m) = f(n-1,m-1) + f(n-m,m)\)（最后一盒放1个球，或放至少1个球转化为“\(n-m\) 球放 \(m\) 盒”）；关联五边形数定理，用于整数分拆计数

三、补充关联

• 公式关联：\(m^n = \sum_{i=0}^m \binom{m}{i} \cdot i! \cdot \left\{ n \atop i \right\}\)
  （解释：球不同、盒不同的总放法 = 选 \(i\) 个非空盒 \(\times\) 排列球进盒 \(\times\) 第二类斯特林数划分 ）
• 置换（Permutation）：与斯特林数共同用于组合计数（如划分后排列盒子场景）

核心逻辑：通过“元素是否可区分、容器是否可区分”分类，用斯特林数、容斥原理、隔板法、动态规划覆盖所有组合分配场景，是组合计数的基础框架。