快速幂

快速幂

引言：在计算中，经常会进行乘方运算，而运用for循环的乘方运算[O(n)]，在时间复杂度上可能不满足，因此我们引进快速幂[O(log₂N)]来进行快速乘方运算.

原理：a^p，将指数p按二进制拆分来实现a^p次方。例：a¹³，（13）₁₀ =（1101）₂=1*2⁰+0*2¹+1*2²+1*2³，因此a¹³=a^{2^0}*a^{2^2}*a^{2^3}

递归式：

long long poww(long long x,int p){
  if(p==0) return 1; 
  if(p%2==1) return poww(x*x,p/2)*x;
   else return poww(x*x,p/2);
}

位运算优化：

long long poww(long long x,int p){
  if(!p) return 1; 
  if(p&1) return poww(x*x,p>>1)*x;
   else return poww(x*x,p>>1);
}

 

非递归式：

long long cf(long long x,int p){
   long long sum=1;
   while(p>0)
   {
      if(p%2==1) sum*=x;
      x*=x; p/=2;
   }
   return sum;
}

位运算优化：

long long cf(long long x,int p){
  long long sum=1;
  while(!p)
   {
     if(p&1) sum*=x;
      x*=x; p>>=1;
    }
  return sum;
}

（有时在不要求全部位数或有特殊要求时可以mod大质数来加快运算或防止溢出）