solution

2023.12.25

G2. Light Bulbs (Hard Version)

若干个区间的极小并，当且仅当这个区间包含了所有区间，当且仅当每个区间的左右点出现了一次， 相当于某个标号恰好出现两次，可以用随机数来异或。

因数个数小trick

\[d(n)\%2=[n=k^2] \]

当且仅当该数是完全平方数时，因数个数是奇数个

极小mex

2023.12.31

数论trick

\[F_n(x)=\prod_{i=0}^n(1-p^ix) \]

可以考虑

\[F_n(px)=\prod_{i=0}^{n}(1-p^{i+1}x)=\prod_{i=1}^{n+1}(1-p^ix)=F_n(x)\frac{1-p^{n+1}x}{1-x} \]

即

\[(1-x)F_n(px)=(1-p^{n+1}x)F_n(x) \]

考虑\([x^k]\)

\[p^k[x^k]F_n-p^{k-1}[x^{k-1}]F_n=[x^k]F_n-p^{n+1}[x^{k-1}]F_n\\ (p^k-1)[x^k]F_n=(p^{k-1}-p^{n+1})[x^{k-1}]F_n\\ [x^k]F_n=\frac{p^{k-1}-p^{n+1}}{p^k-1}[x^{k-1}]F_n \]

q-binomial

Erdos-Ginzburg-Ziv Theorem

https://zhuanlan.zhihu.com/p/501183534

2024.1.7

矩阵树

BEST定理

连续段dp

P5999 [CEOI2016] kangaroo

2024_1_22

dp trick

2024_2_1

二维链表trick

可以开二位链表连右边和下边

括号序列

设\(f(n,m,k)\)表示有\(n\)个左括号，\(m\)个右括号，子序列中合法括号序列最长长度为\(2k\)的括号序列，转移为

\[f(n,m,k)= \left\{ \matrix{ {n+m}\choose n && k\ge min(n,m)\\ f(n-1,m,k-1)+f(n,m-1,k) && k<min(n,m) } \right. \]

通过归纳可以得到

\[f(n,m,k)= \left\{ \matrix{ {n+m}\choose n && k\ge min(n,m)\\ {n+m}\choose k && k<min(n,m) } \right. \]

2.对于一个括号序列来说，要想构造一个最长的合法子括号序列，没有用上的右括号的数量就是前缀和的min。