9.5

1.求点M(4,-3,5)到原点及各坐标轴的距离。

\[D_o=\sqrt{4^2+(-3)^2+5^2}=5\sqrt2\\ D_x=\sqrt{(-3)^2+5^2}=\sqrt{34}\\ D_y=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\\ D_z=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5 \]

2.向量\(\vec{a}\)与x轴，y轴成等角，而与z轴的夹角是它们的两倍，求\(\vec{a}^o\)。

\[设\vec{a}=(x,y,z) \\ \because \cos\alpha=\frac{x}{||\vec{a}||}=cos\beta=\frac{y}{||\vec{a}||}=t\\ \therefore x=y \\ \because \cos \gamma=2t^2-1且\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\\ \therefore 4t^2-1=1\\ \therefore t=\frac{\sqrt2}{2}\\ \therefore \vec{a}^o=(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2},0) \]

3.已知A(2,4,1)，B(3,7,5)，C(4,10,9)，证明点A，B，C在同一直线上。

\[易知2\vec{AB}=\vec{AC} \]

4.已知\(\triangle\)ABC中，\(\vec{AB}=(2,1,-2),\vec{BC}=(3,2,6)\)，求三角形的三个内角。

\[\cos A=\cos<\vec{AB},\vec{AC}>=\frac{\sqrt2}{6}\\ \cos B=\cos<\vec{BA},\vec{BC}>=\frac{4}{21}\\ \cos C=\cos<\vec{CA},\vec{CB}>=\frac{9\sqrt{2}}{14}\\ \]

5.设\(A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)\)为两已知点，线段AB上的点M(x,y,z)分有向线段\(\vec{AB}\)为两条有向线段\(\vec{AM}\)与\(\vec{MB}\)，且使\(|||\vec{AM}||=\lambda||\vec{MB}||\)，证明：\(x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}\)。

\[\vec{AM}=\frac{\lambda}{1+\lambda}\vec{AB}\\ \vec{OM}=\vec{OA}+\vec{AM}\\ 故x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda} \]

6.已知线段AB被点\(C(2,0,2),D(5,-2,0)\)三等分，试求点A与点B的坐标。

\[易知C为AD中点，D为CB中点\\ 故A(-1,2,4),B(8,-4,-2) \]