RMS 有效值的推导与C实现

RMS 有效值的推导与C实现

[!NOTE]

直接看四

一、物理基础与离散信号推导

1. 功率等效原理

• 直流功率：
  $ P_{DC} = \frac{V_{eff}^2}{R} $
• 交流功率（离散信号）：
  瞬时功率：$ \frac{V_i^2}{R} $
  平均功率：
  $ P_{AC} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{V_i^2}{R} = \frac{1}{R} \cdot \frac{\sum V_i^2}{N} $

2. 定义 RMS 值

令 $ P_{DC} = P_{AC} $，则：

$ \frac{V_{eff}^2}{R} = \frac{1}{R} \cdot \frac{\sum V_i^2}{N} $

$ \implies V_{eff} = \sqrt{\frac{\sum V_i^2}{N}} = \text{RMS} $

物理意义：RMS 是信号平方的算术平均的平方根。

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二、连续信号的积分形式推导

对连续信号 $ f(t) $，周期为 $ T $：

• 平均功率：
  $ P_{AC} = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{[f(t)]^2}{R} dt $
• 等效直流功率：
  $ \frac{V_{eff}^2}{R} $

因此：
$ V_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T [f(t)]^2 dt} $

关键点：RMS 公式从离散推广到连续，本质是 平方→时间平均→开方。

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三、正弦波 RMS 的特殊推导（免微积分）

正弦波 $ V(t) = V_p \sin(\omega t) $：

1. 平方信号：
   $ [V(t)]^2 = V_p^2 \sin^2(\omega t) = V_p^2 \cdot \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} $
2. 时间平均：
   $ \cos(2\omega t) $ 周期内积分为 0，故：
   $ \frac{1}{T} \int_0^T [V(t)]^2 dt = \frac{V_p^2}{2} $
3. 开方得 RMS：
   $ V_{rms} = \sqrt{\frac{V_p^2}{2}} = \frac{V_p}{\sqrt{2}} \approx 0.707 V_p $

物理意义：正弦波的 RMS 是峰值的 $ \frac{1}{\sqrt{2}} $，与频率无关。

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四、实时系统中的指数加权移动平均（EWMA）

1. 理想 RMS 的局限

需计算 $ \frac{1}{N} \sum x_i^2 $，但 $ N $ 增大时内存需求剧增。

2. EWMA 的数学本质

用指数衰减权重替代算术平均：

• 递归公式：
  $ v_t = \alpha \cdot x_t^2 + (1 - \alpha) \cdot v_{t-1} $
  其中 $ v_t $ 是平方的加权平均值，$ \alpha $ 为平滑系数。

3. 权重衰减的证明

展开递归式：
$ v_t = \alpha x_t^2 + \alpha(1 - \alpha) x_{t-1}^2 + \alpha(1 - \alpha)^2 x_{t-2}^2 + \cdots $
权重系数 $ \alpha(1 - \alpha)^k $ 满足 指数衰减，且总和收敛为 1：
$ \sum_{k=0}^\infty \alpha(1 - \alpha)^k = \alpha \cdot \frac{1}{1 - (1 - \alpha)} = 1 $

结论：EWMA 是平方信号的 指数加权全局平均，逼近理想 RMS 中的算术平均。

4. 平滑系数 $ \alpha $ 与时间常数 $ \tau $ 的关系

定义时间常数 $ \tau $（如 100ms），权重衰减至 $ 1/e $ 所需时间。
数学关系：
$ \alpha = 1 - e^{-1 / (\tau \cdot f_s)} $
其中 $ f_s $ 为采样率。

推导依据：
离散系统中，指数衰减的连续时间常数为 $ \tau $ 时，离散步衰减因子需满足：
$ (1 - \alpha)^{f_s \tau} = e^{-1} $

//sample本次采集的数据  sample_rate采样率 alpha平滑系数 time时间常数
alpha = 1.0f - expf(-1.0f / (time * sample_rate));
current_rms = alpha * (sample * sample) +(1.0f - alpha) * current_rms;

时间常数 τ	平滑系数 α	动态响应	噪声抑制能力
较小	较大（如 0.1）	响应快	较弱
较大	较小（如 0.01）	响应慢	强