唐氏结论题

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题意：对于一个 \(n+1\) 个点的完全图和长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，点 \(u\) 和 \(v\) 之间的边权为 \(\max(a_u, a_{u+1}...a_{v-1})\) ，定义权值为图的最大权完美匹配。给定 \(a\) ，求 \(a\) 所有排列的权值和。

数据：\(n \le 10^5\)

不是图论题喵。

有一个结论：最终的匹配形如 \((i,\frac{n+1}{2}+i)\) 。

证明：反证法。

1. 不存在两个区间不交的情况，否则交换更优
2. 不存在两个区间包含的情况，否则交换更优

所以反正如此匹配。

然后就糖丸了，直接拆贡献计算即可。

令 \(len=\frac{n+1}{2}\)

考虑一个数对一个区间的贡献，每个区间长度为 \(len\) ，所以有 \(len\) 种位置可以选择。同时有 \(len\) 个区间，它们都是等价的。再考虑剩下的数，比当前数大的要放在区间外面，其它的可以乱排。

所以 \(ans=\sum{a_ib_i}\)

其中 \(b_i=len^2\binom{n-len}{i-1}(i-1)!(n-i)!\)

复杂度 \(O(n \log n)\) ，瓶颈在于排序。

某些唐氏觉得要 \(n^2\) 计算还写错，我不说是谁。