一道数学题

事实上是一个从OI题改编过来的整活题。

UPD 7.28：被两个MO省队爷切爆了。

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题面

\(\large{\mathbf{已知}\ f(n)=\sum\limits_{i=0}^{d}{\frac{i^n(-1)^{d-i}}{i!(d-i)!}}\ \mathbf{其中}\ d\in\mathbb{N}^*}\ \mathbf{：}\)
\(\large{\mathbf{(1)求证：}\ \forall d,n\in\mathbb{N}^*\ \mathbf{，有}\ f(n)\in\mathbb{N}}\ \mathbf{。}\)
\(\large{\mathbf{(2)求关于}\ n\ \mathbf{的方程}\ f(n)=0\ \mathbf{的正整数解。}}\)

解答

实际上这玩意儿是 \(n\) 个不同的球放进 \(d\) 个相同的盒子并且没有任何一个盒子没有球的方案数。

UPD 7.28：两个MO爷都给出的都是染色，真是有趣的默契呢。（严重怀疑是cxm所带的）