题解CF1106C

本题应该降橙

CF1106C题目传送门

---

题意简述

给你 $\ n\$ 个数，求这些数分组后平方和的最小值。

一组至少要有 $\ 2\$ 个数。

题目保证 $\ n\$ 是偶数。

思路

这个问题我们需要证明一个点：

$1$：一个排好序后的数组，分组后平方和的最小值一定是让 $\ a_i\$ 和 $\ a_{n-i+1}\$ 相加。

众所周知，在 $\ a>b\$ 的情况下， $\ a^2>b^2$。

所以我们让 $\ \forall i,j\ \ \ \ \ i+j\$ 尽可能的小？

不是的。

因为一个 $\ 1,2,45,99\$ 的数组，按这种方式答案是 $\ 20735$。

然而，实际的解是 $\ 12209$。

所以，我们让 $\ \forall i,j\ \ \ \ \ i+j\$ 尽可能平均。

为什么要平均呢？

看这个例子就知道了：

$$47^2+47^2=4418\ \ \ 48^2+46^2=4420$$

再到 $\ (49,45)\$ 就不用说了，肯定更大。

所以，分成任意组，极差越大，答案越大。

而我们求的是最小，所以我们应该让它平均分。

而为了平均分，我们需要使用时间复杂度为 $\ \operatorname{O}(n \log n)\$ 的 $\ \operatorname{sort}\$ 排序。

当然，手打快排，归并等时间复杂度为 $\ \operatorname{O}(n \log n)\$ 的排序也没有问题，但不能用 $\ \operatorname{O}(n^2)\$ 的排序，因为会 $\ \text{TLE}$。

最后，还有 $\ \text{O}(n)\$ 的桶排序代码，可以过 $10^7$。

（正常 $\ \text{sort}\$ 能过本题 $\ 3×10^5$，但过不了 $\ 10^7$）

ctjer 最喜欢的代码环节

AC Code 1：$\text{O}(n\log n)$

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[300001],n;
long long ans;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n/2;i++){
		ans+=(a[i]+a[n-i+1])*(a[i]+a[n-i+1]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

AC Code 2：$\text{O}(n)$

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[300001],x,n,b[10001],p;
long long ans;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x;
       	b[x]++;
	}
	for(int i=1;i<=10000;i++){
        for(int j=1;j<=b[i];j++){
            a[++p]=i;
        }
    }
    for(int i=1;i<=p/2;i++){
    	ans+=(a[i]+a[n-i+1])*(a[i]+a[n-i+1]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

感谢各位在评论区 $\ hack\$ 的大佬们~