P10112 题解

正好要准备 GESP 四级，所以来这里看看。

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思路：

众所周知，在 $n$ 个人中选择 $m$ 个人分发同一种奖品的方案数有 $C_n^m$ 种（组合的定义）。

那么，由组合数递推式（$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$）可推出 $1001$ 以内的所有组合数（注意不是 $1000$！因为这个 $30$ 分的同学可以来看看）。

这样，我们通过乘法原理可以计算出 $ans$（具体实现见代码实现部分）。

证明：在 $n$ 个人之中选 $a_1$ 个方案是 $C_n^{a_1}$种，之后剩下的 $n-a_1$ 个人之中选 $a_2$ 个方案是 $C_{n-a_1}^{a_2}$ 种，两个选择互不干扰，因此是乘法原理。

但是，$m$ 不一定等于 $n$，还可能等于 $n+1$。

在这种情况下，总会有一个奖品没有被发给任何人，我们可以看做被发给了空气。

因此，这就和第一种情况没有丝毫区别了。

代码实现：

• 如果我们前面已经有 $k$ 个人得到了奖品，剩余的总人数只会有 $n-k$ 个，所以在每一次计算后 $n$ 要减去 $a_i$，这样计算的组合数才是正确的。
• $m$ 的范围是 $1001$，$30$ 分的同学可以把 $1000$ 改成 $1001$，就过了。

Code：

#include<iostream>
using namespace std;
long long C[2005][2005];
int T,n,m,x[2005];
long long ans=1,sum=0;
int main(){
	for(int i=0;i<=2000;i++){
		for(int j=0;j<=i;j++){
			if(j==0)C[i][j]=1;
			else C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%1000000007;
		//	cout<<C[i][j]<<' ';
		}
	//	cout<<endl;
	} 
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m;
		ans=1;sum=0;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			cin>>x[i];
			sum+=x[i];
		}
		if(sum>n)n++;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			ans=(1ll*ans*C[n][x[i]])%1000000007;
			n-=x[i];
		}
		cout<<ans%1000000007<<endl;
	}
	return 0;
}