题解：AT_abc353_c [ABC353C] Sigma Problem

Idea

因为 $a_i<10^8$，所以 $0<a_i+a_j<2\times 10^8$。

考虑对于 $a_i+a_j<10^8$ 和 $a_i+a_j\ge 10^8$ 的情况分开讨论。

在 $a_i+a_j<10^8$ 时，这一组数对答案的贡献即为 $a_i+a_j$。

反之，则贡献为 $a_i+a_j-10^8$。

所以我们可以对 $a$ 序列从小到大排序，排序之后序列满足单调性。

可以对于每一个 $i$，二分出一个 $j$ 使 $a_i+a_j\ge10^8$ 且 $a_i+a_{j-1}<10^8$。这一部分是 $\operatorname{O}(n\log n)$ 的。

因为有单调性，所以对于任意的 $k$ 使 $k\ge j$，$a_i+a_k\ge 10^8$。

我们可以发现，最后对于每一个 $i$，会减掉 $n-j+1$ 个 $10^8$。

而设要减 $cnt$ 个 $10^8$，则答案为：

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(a_i+a_j)-cnt\times 10^8$$

如何求每一对 $a_i+a_j$ 呢？考虑拆开：每一个 $a_i$ 会被加 $n-1$ 次（与 $n-1$ 个 $a_j$ 相加） ，所以设 $a$ 数组总和为 $sum$，则每一对 $a_i+a_j$ 的总和为 $sum\times(n-1)$。这里是 $\operatorname{O}(n)$ 的。

所以我们就能在 $\operatorname{O}(n\log n)$ 的时间复杂度内解决了。

Tip

• 本题可能会爆 int。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long sum;
long long cnt=0;
int n,a[300005];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1);
	a[n+1]=100000000; 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=100000000-a[i];
		int _=lower_bound(a+i+1,a+n+2,x)-a;
	//	cout<<_<<' ';
		cnt+=(n-_+1);
		sum+=a[i];
	}
	sum=1ll*sum*(n-1);
	sum-=cnt*100000000;
	cout<<sum;
	return 0;
}