题解：AT_abc353_d [ABC353D] Another Sigma Problem

Idea

首先要跑出每一个数的位数。

接下来，我们枚举两个数中后面的数。但是我们不需要枚举前面的数。

考虑对于 $a_k$，$a_k$ 位数为 $cnt_i$ 时 $i$ 的贡献：

$$a_1\times cnt_k+a_k+a_2\times cnt_k+a_k+\cdots+a_{k-1}\times cnt_k+a_k+a_{k+1}\times cnt_k+a_k+\cdots+a_{n-1}\times cnt_k+a_k+a_n\times cnt_k+a_k$$

即

$$(a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}+a_{k+1}+\cdots+a_{n-1}+a_{n})\times cnt_k+a_k\times (n-1)$$

即

$$(\sum_{i=1}^{n}a_i-a_k)\times cnt_k+a_k\times (n-1)$$

不难发现，转变为以上式子即可 $\operatorname{O}(n)$ 求解了。

Tips

• 虽然本题答案要求模 $998244353$，但是还是要开 long long。
• 需要边计算边取模，否则会爆 long long。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int unsigned long long
using namespace std;
int sum[200005];
int n;
int a[200005],wei[200005];
int getwei(int x){
	int cnt=0;
	while(x){
		x/=10;
		cnt++;
	}
	return cnt;
}
long long ans=0,ten[11]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000,10000000000};
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		wei[i]=getwei(a[i]);
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]%=998244353;
	for(int i=1;i<=10;i++)ten[i]%=998244353;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=sum[i-1]*ten[wei[i]];
		ans+=(i-1)*a[i];
		ans%=998244353;
	}
	cout<<ans%998244353;
	return 0;
}