题解：P10262 [GESP样题 六级] 亲朋数

看到算法标签想出来的。

Idea

设 $dp_{i,j}$ 表示当前枚举到了第 $i$ 位，子串化为十进制 对 $p$ 取模的余数为 $j$ 的子串数量。

设 $s_i$ 对 $p$ 取余的余数为 $q$。

设 $j_1$ 为上一个枚举到的 $j$，$j_2$ 为我们需要转移的 $j$，由余数的性质我们可得：$j_2=(10\times j_1+q)\bmod p$。其实就是将前一个数乘 $10$ 然后加上 $s_i$ 代表的十进制数对 $p$ 取余的结果。

最后答案是什么？亲朋数是 $p$ 的倍数，换而言之，亲朋数对 $p$ 取模余数为 $0$。所以答案就是 $dp_{i,0}$ 的和。

这题略卡空间，所以需要滚动数组优化。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[129],f[129];
int p;
string s;
long long ans=0;
int main(){
	cin>>p;
	cin>>s;
	s=' '+s;
	int n=s.length()-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int q=s[i]-'0';
		q=q%p;
		for(int j=0;j<p;j++){
			f[j]=dp[j]; 
			dp[j]=0;
		}
		for(int j=0;j<p;j++){
			dp[(j*10+q)%p]+=f[j];
		}
		dp[q]++;//可能自己独自成为一个亲朋数，需要把这个数自己算上
		ans+=dp[0];
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

Tip

本题答案最多时可以达到 $5\times 10^{11}$，所以需要开 long long。例如当 $p=2$，$s$ 由 $10^6$ 个 $2$ 构成时，所有情况都满足。

但是本题数据略水，所以不用开 long long 也能过。