斯坦纳树

给一张图，其中一些点称为关键点。

斯坦纳树的定义就是能覆盖关键点的连通子图，为什么叫连通子图，可以发现答案子图可以为一棵树，否则如果有环，可以删去环上任意一条边，新图也联通。

\(\textup{最小斯坦纳树}\)

\(Link\)

题意：给定一张带权无向图，其中有一些点是关键点，求连通子图的最小长度。

可以发现答案子图一定为一棵树，否则如果有环，可以删去环上任意一条边，新图也联通。

这是个 NP-hard 问题，可能没办法在多项式时间复杂度内（\(\mathcal{O}(\mathcal{n}^k)\) 或 \(\mathcal{O}(\mathcal{nk})\)）解决，考虑状压。

子图的状态肯定无法压进 dp，考虑将关键点的状态压进 dp。

由于答案是一棵树，可以设 \(f_{i,S}\) 表示以 \(i\) 为根，且关键点覆盖状态为 \(S\) 的最小长度。

我们可以将以 \(i\) 为根的树分成两类：\(i\) 的度数为 \(1\)，\(i\) 的度数大于 \(1\)。

分讨：

• \(i\) 的度数为 \(1\)，则这个点的转移来自于他唯一的连边，我们就考虑通过 \(i\)的相邻点来转移，设这个点为 \(j\)，则

\[f_{i, S} = f_{j, S} + dis_{i,j} \]

• \(i\) 的度数大于 \(1\)，则可以将这个图分成 \(i\) 的若干个子树，就可以通过枚举子集转移：

\[f_{i,S} = \min\{f_{i, T} + f_{i, S - T} \} \]

实现方面，对于第一种转移，可以想到最短路算法的松弛操作，将整张图松弛，先将整张图更新的点扔进队列，然后用第一种转移的转移式更新整张图的 \(f\)，通过最短路算法实现。

可以发现图是比较稀疏的，可以复活死去的 \(SPFA\)， 这个转移的时间复杂度卡满的话是 \(\mathcal{O}(2^knm)\)，和枚举子集比起来你会惊奇发现这和枚举子集的时间复杂度差不多。

对于第二种转移，直接枚举子集，复杂度 \(\mathcal{O}(3^kn)\)

讲一下枚举子集的时间复杂度，之前一直不是很懂。

设集合大小为 \(T\)，则大小为 \(0\) 的子集个数为 \(C_n^0\)，大小为 \(1\) 的子集个数为 \(C_n^1\)...大小为 \(n\) 的子集个数为 \(C_n^n\)。

枚举的总复杂度就是 \(2^0 \times C_n^0 + 2^1 + C_n^1 + ... 2^n + c_n^n = \sum_{k = 0}^{n} 2^k C_n^k = \sum_{k = 0}^{n} 2^k 1^{n-k}C_n^k = (2 + 1)^n = 3^n\)。

最后 \(ans = \min \{f_{i,2^{k} - 1}\}\)。

游览计划

可以发现这题很板，只是加了一个点权转边权和输出方案。

输出方案在每次转移时加一个 \(pre\) 数组，然后 dfs。

点权转边权可以考虑将第二个转移改成

\[f_{i,S} = \min\{f_{i, T} + f_{i, S - T} - val_i\} \]

因为两边我们都算了一次 \(i\) 节点，减了就行。