数论——乘法逆元

NO.1 一些含义与定义

1.含义

在 \(\bmod p\) 的意义下，\(1\) 个数如果有乘法逆元 \(x\)，那么除以 \(a\) 相当于乘 \(x\)。

2.为什么要有乘法逆元

当我们求 \((a/b) \bmod p\) 的值，除法却不满足模运算的分配律，如 \(a\) 很大，可能会溢出，\(b\) 很大，可能会爆精度，乘法逆元就可以解决此问题。

3.定义

有 \(\mathbb Z^+a,n\)，如果 \(ax \equiv 1 \pmod n\)，则称 \(x\) 的最小正整数解为 \(a \bmod m\) 的乘法逆元。

4.证明

设 \(k\) 为 \(b\) 关于 \(\bmod p\) 的乘法逆元，那么 \((a/b) \bmod p=(ak) \bmod p\)，且 \(gcd(b,p)=1\)

\(∵k\) 为 \(b\) 关于 \(p\) 的乘法逆元

\(∴k/b \equiv 1 \pmod p\)

\(∴bk=px+1\)

\(∴k= \displaystyle \frac{px+1}{b}\)

\(∴ak \bmod p =(a \displaystyle \frac{px+1}{b}) \bmod p=(apx/b+a/b)\bmod p\)

\(∴((p(ax)/b) \bmod p+(a/b) \bmod p) \bmod p=(a/b) \bmod p\)

得证