数论——扩展欧几里得

No.1 前置知识

1. 欧几里得算法（辗转相除法）

2. 裴蜀定理

---

No.2 算法，证明及函数

扩展欧几里得算法用来解决这样一个问题：给定两个非零的整数 \(a\) 和 \(b\)，求一组整数解 \((x，y)\) 使得 \(ax+by = gcd(a,b)\) 成立（通过裴蜀定理可知一定存在解）。

证明：

设 \(ax_1+by_1=gcd(a,b)\)，设 \(bx_2+(a \bmod b)y_2=gcd(b,a \bmod b)\)

由欧几里得算法可知：\(gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)\)

\(∴ax_1+by_1=bx_2+(a \bmod b)y_2\)

又\(∵a \bmod b=a-kb(k\) 为商且 \(k \in \mathbb Z)\)

又\(∵k=\lfloor \displaystyle \frac{a}{b} \rfloor\)

\(∴ax_1+by_1=bx_2+(a-b\lfloor \displaystyle \frac{a}{b} \rfloor)y_2\)

整理得：\(ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-\lfloor \displaystyle \frac{a}{b} \rfloor y_2)\)

\(∴ \exists x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor \displaystyle \frac{a}{b} \rfloor y_2\)

可以看出：\((x_1,y_1)\) 这组解由 \((x_2,y_2)\) 得来

不难发现：当\(x_n,y_n\) 关于 \(gcd(a,0)\) 时，\(ax_n+by_n=a,\exists x_n=1,y_n=0\)

\(\exists\) 这组边界整数解可得 \(x_1,y_1\)

函数:

Code

void exgcd(int a,int b){
    if(b==0){
	x=1;
	y=0;
	return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
}

---

No.3 例题

3.1同余方程

链接：\(Link\)

分析：

题目要求关于 \(x\) 的同余方程 \(a x \equiv 1 \pmod {b}\) 的最小正整数解。

可以转换得到：\(ax \bmod b=1\)

于是 \(ax+by=1\)

这个式子我们很熟悉，但是它有一点不对劲，扩欧的标准是 \(ax+by=gcd(a,b)\)，为什么有 \(1\)。

很简单，它说明了 \(gcd(a,b)=1\)，\(a,b\)互质。

接下来，就可用扩欧得出 \(x,y\) 的一组特殊解。

问题来了，此时 \(x,y\) 只满足 \(ax+by=1\)，\(x\) 不一定为最小整数解。

此时，可将 \(x\) 加上 \(kb(k \in \mathbb Z)\)，从而得到 \(x\) 的最小整数解。

\(∵ax+by=1\)

\(∴ax+by+pab-pab=1\)

\(∴a(x-bp)+b(y-ap)=1\)

\(∴\) 可得 \(x\) 的最小整数解为 \((x\bmod b+b)\bmod b\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long x,y;

long long read(){
	long long s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){
		if(ch=='-'){
			w=-1;
		}
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		s=s*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return s*w;
}

void exgcd(long long a,long long b){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	long long t=x;
	x=y;
	y=t-(a/b)*y;
}

int main(){
	long long a,b;
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	exgcd(a,b);
	printf("%lld\n",(x%b+b)%b);
	return 0;
}

---

认真学数学\(ing\)

完结