初等数论——整除，模运算，同余【未完结】

No.1 概念

初等数论(\(Elementary\) \(number\) \(theory\))是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。

No.2 整除

1.定义

设\(a,b∈\mathbb Z\)，\(a≠0\)，如果\(∃\mathbb Zq\)，使\(aq=b\)，则\(b\)能被\(a\)整除，记为\(a\mid b\)。

2.性质

2.1. 传递性 如果\(a\mid b\)，且\(b\mid c\)，则\(a\mid c\)。

证明：

\(∵a\mid b\)，令\(ax=b(x∈\mathbb Z\)且\(x≠0)\)

又\(∵b\mid c\)，令\(by=c(y∈\mathbb Z\)且\(y≠0)\)

\(∴axy=c(x,y∈\mathbb Z\)且\(x,y≠0)\)

\(∴a\mid c\)

2.2. \(a\mid b\)且\(a\mid c\)等价于\(∀\mathbb Zx,y\)，有\(a\mid (bx+cy)\)

证明：

\(∵a\mid b，令as=b(s∈\mathbb Z且s≠0)\)

\(又∵a\mid c，令at=c(t∈\mathbb Z且t≠0)\)

\(又∵bx+cy=asx+aty=a(sx+ty)(s,t∈\mathbb Z且s,t≠0)\)

\(∴a\mid a(sx+ty)\)

\(∴a\mid (bx+cy)\)

2.3.设\(m≠0\)，则\(a\mid b\)等价于\(ma\mid mb\)

证明：

\(∵a\mid b，令ax=b(x∈\mathbb Z且x≠0)\)

\(∴axm=bm(m≠0)\)

\(∵am\mid axm\)

\(∴ma\mid mb\)

2.4.\(ax+by=1，a\mid n，b\mid n，\)那么\(a*b|n\)

证明：

\(∵a\mid n，b\mid n\)

\(∴n=as=bt\)

又\(∵ax+by=1\)

\(∴ \displaystyle \frac{ax+by}{ab} = \displaystyle \frac{1}{ab}\)

\(∴\displaystyle \frac{x}{b} + \displaystyle \frac{y}{a} = \displaystyle \frac{1}{ab}\)

\(∴\displaystyle \frac{n}{ab}=n(\displaystyle \frac{x}{b}+\displaystyle \frac{y}{a})=tx+sy\)

\(∵(tx+sy) \in \mathbb Z\)

\(∴\displaystyle \frac{n}{ab} \in \mathbb Z\)

\(∴a*b\mid n\)

2.5. 若\(b=qd+c\)，那么\(d\mid b\)的冲要条件是 \(d\mid c\)

易证。

No.3 模运算

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鸽鸽~~