A dispersion model of enhanced mass diffusion in nanofluids

笔记

时间：2020-08-28

有研究表明纳米流体的团聚以及渗流式的分型构型是造成纳米流体导热率高的两大原因。 Evans et al., 2008; Eapen et al., 2010
然而与导热相反，气体在液体中的在扩散系数要远远小于于液体，因而纳米颗粒簇并不能解释扩散系数的提升。
基本模型的构建：
- 纳米粒子的布朗运动
  - classical Langevin equation
    $m_{p} \frac{d \mathbf{u}(t)}{d t}=-\beta \mathbf{u}+\mathbf{F}(t)$
    其中，mp是粒子的质量，β=6Πμa是摩擦系数，F(t)表示随机波动力, 它源于在分子尺度上发生的持续不规则的分子热扰动。
    粒子速度fu’hmaxwell-boltzmnn分布
    $f(u)=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{1 / 2}\left(\frac{m_{p}}{k_{B} T}\right)^{3 / 2} u^{2} \exp \left(-\frac{m_{p} u^{2}}{2 k_{B} T}\right)$
    涨落力（正态分布）：
    $\left\langle\mathbf{F}\left(t_{1}\right) \mathbf{F}\left(t_{2}\right)\right\rangle=6 \pi k_{B} T \beta \delta\left(t_{1}-t_{2}\right)$
    速度自相关函数（VACF）:
    $\left\langle u\left(t_{0}\right) u\left(t_{0}+t\right)\right\rangle=\left\langle u^{2}\right\rangle \exp \left(-t / \tau_{v}\right)$
    $\tau_{v}=m_{p} / \beta \propto a^{2} / \mu$
    其中参数τv常作为基于布朗运动传质理论(对大于τv的时间尺度不会有贡献作用)的重要依据。
    由此可以得到单颗粒在静止流体中的自扩散系数（ Stokes–Einstein relation ）：
    $D_{B M}=\int_{0}^{\infty}\left\langle u\left(t_{0}\right) u\left(t_{0}+t\right)\right\rangle d t=\frac{\left\langle u^{2}\right\rangle}{\beta / m_{p}}=\frac{3 k_{B} T}{\beta}$
    缺陷：当纳米粒子没有比流体分子大得多或重得多时不再适用，涨落力不在能够当作白噪声处理
  - generalized Langevin equation
    $m_{p} \frac{d \mathbf{u}(t)}{d t}=-\int_{-\infty}^{t} \beta\left(t-t^{\prime}\right) \mathbf{u}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}+\mathbf{F}(t)$
    更通用的形式为：
    $m_{p} \frac{d \mathbf{u}(t)}{d t}=-\int_{t_{0}}^{t} \beta\left(t-t^{\prime}\right) \mathbf{u}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}+\overline{\mathbf{F}}(t)$
    $\overline{\mathbf{F}}(t)=-\int_{-\infty}^{t_{0}} \beta\left(t-t^{\prime}\right) \mathbf{u}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}+\mathbf{F}(t)$
    对应的速度自相关函数(VACF)
    $\left\langle u\left(t_{0}\right) u\left(t_{0}+t\right)\right\rangle \sim\left\langle u^{2}\right\rangle \frac{\sigma}{2 \sqrt{\pi}}\left(\frac{t}{\tau_{r}}\right)^{-3 / 2}$
    $\tau_{r}=m_{e} / \beta$
- 纳米粒子引起的对流（ Brinkman equations ）：
  $\nabla \cdot \mathbf{u}=0, \quad \nabla p+\mu \nabla^{2} \mathbf{u}-\frac{\mu}{k} \mathbf{u}=0$
  $k=\frac{2}{9}\phi^{-1}a^2$
  其中k是多孔介质的渗透率，Φ是颗粒的体积分数。距离k^0.5定义了布林克曼筛选长度。
  颗粒之间的平均间距 l 于颗粒半径之间的大小关系（当Φ=0.01时）：
  $\frac{l}{a}=\left(\frac{4 \pi}{3 \phi}\right)^{1 / 3}-2 \approx 5.5$
  对应的解(流体以固定速度u0流过填充率很低的固定床)
  $\begin{aligned} \mathbf{u}_{1}=& \mathbf{U}_{\mathbf{0}}\left\{1-\frac{3}{2 \kappa^{2} r^{3}}\left[\left(1+\kappa r+\kappa^{2} r^{2}\right) \mathrm{e}^{\kappa(1-r)}-\left(1+\kappa+\frac{1}{3} \kappa^{2}\right)\right]\right\} \\ &-\frac{9}{2 \kappa^{2} r^{5}} \mathbf{r}\left(\mathbf{U}_{\mathbf{0}} \cdot \mathbf{r}\right)\left[\left(1+\kappa+\frac{1}{3} \kappa^{2}\right)-\left(1+\kappa r+\frac{1}{3} \kappa^{2} r^{2}\right) \mathrm{e}^{k(1-r)}\right] \end{aligned}$
  由u1=u0+u2, 即流体的速度场来自于主流速以及相对流速的叠加，当u2=u-u0时，有：
  $\begin{aligned} \mathbf{u}_{2}=& \frac{3 \mathbf{U}_{0}}{2 \kappa^{2} r^{3}}\left[\left(1+\kappa r+\kappa^{2} r^{2}\right) \mathrm{e}^{\kappa(1-r)}-\left(1+\kappa+\frac{1}{3} \kappa^{2}\right)\right] \\ &+\frac{9}{2 \kappa^{2} r^{5}} \mathbf{r}\left(\mathbf{U}_{0} \cdot \mathbf{r}\right)\left[\left(1+\kappa+\frac{1}{3} \kappa^{2}\right)-\left(1+\kappa r+\frac{1}{3} \kappa^{2} r^{2}\right) \mathrm{e}^{\kappa(1-r)}\right] \end{aligned}$
  布林克曼方程于Stokes方程的对比：单颗粒的扰动的衰减的更快(r^-3 vs r^-2)
固定床上的扩散机制：
- 公式：
  $\mathbf{D}= D_{f} \mathbf{I}+\mathbf{D}^{\alpha}+\mathbf{D}^{*}$
- Df是溶质在基液中的分子扩散率
- Da是一种经典的连续介质模型预测方法，它考虑到固相中溶质的质量扩散系数于液相的对比, 由maxwell等人
  $\frac{\mathbf{D}^{\alpha}}{D_{f}}=\mathbf{I}\left[\frac{3(\alpha-1)}{\alpha+2} \phi+O\left(\phi^{2}\right)\right]$
  $\alpha=D_{p} /\left(\Gamma D_{f}\right)$
  Γ是液相和固相之间溶质溶解度的比值。对于非多孔颗粒，有α<<1 ==> D^α<0, 于热导率的影响相反。
-    D* 机械弥散关系：
  
  $\frac{D_{\| M}^{*}}{D_{f}}=k^{-1 / 2}\left[\frac{3}{4} P-2-\frac{3}{2} P^{-1}+3 P^{-2}+3\left(P^{-1}-P^{-3}\right) \ln (P+1)\right]$
  
  $\frac{D_{\perp M}^{*}}{D_{f}}=k^{-1 / 2}\left[\frac{1}{4}+\frac{3}{4} P^{-1}-\frac{3}{2} P^{-2}+\frac{3}{2}\left(P^{-3}-\frac{1}{2} P^{-1}\right) \ln (P+1)\right]$
  
  k=2/9Φ^-1为无量纲渗透率； P=k^0.5|Pe| 为以布林克曼长度表示的绝对Peclet数(当Pe>1时，主要是纵向弥散系数占主导)
  
  当考虑颗粒间的流体动力学的相互作用时，将造成纵向扩散的额外提升
  
  $\frac{D_{\perp H}^{*}}{D_{f}}=\frac{1+\frac{63 \sqrt{2}}{320} \operatorname{Pe} \phi^{1 / 2}+\frac{21 \sqrt{2}}{80} \phi^{1 / 2}}{1-\frac{9 \sqrt{2}}{80} \phi^{1 / 2}}$
  
     非机械弥散（分子扩散在边界层区域）的额外提升：
  
      $\frac{D_{\| B L}^{*}}{D_{f}}=\frac{1}{6} \pi^{2} \phi \operatorname{Peln}(\mathrm{Pe})$
  
      最终有：
  
      $\begin{array}{l} \frac{D_{\|}^{*}}{D_{f}}=\frac{D_{\| M}^{*}}{D_{f}}+\frac{D_{\| B L}^{*}}{D_{f}} \\ \frac{D_{\perp}^{*}}{D_{f}}=\frac{D_{\perp M}^{*}}{D_{f}}+\frac{D_{\perp H}^{*}}{D_{f}}-\left.\frac{3 \sqrt{2}}{8} \phi^{1 / 2}\right|_{\phi^{1 / 2} \leqslant \mathrm{Pe} \ll 1} \end{array}$
纳米颗粒的自扩散系数阻碍作用：
$D_{S D C}=D_{B M}(1-1.83 \phi)$
假设： $D_{S D C}=\left\langle u_{S D C}^{2}\right\rangle /(\beta / m)$
由此有: $\left\langle u_{S D C}^{2}\right\rangle=\left\langle u^{2}\right\rangle(1-1.83 \phi)$
由均方根速度来作为纳米颗粒运动的平均速度的不合适性（假设所有粒子都以均方根速度运动，没有考虑位阻效应），合适的采样如下（为什么—仍然没有考虑纳米粒子的团聚）：
$\begin{aligned} \overline{\mathbf{D}}(\phi) &=\int_{0}^{\infty} \mathbf{D}(\phi, \operatorname{Pe}) f(u) d u \\ &=D_{f}\left(1-\frac{3 \phi}{2}\right)+\int_{0}^{\infty} \mathbf{D}^{*}(\phi, \operatorname{Pe}) f(u) d u \end{aligned}$
$\mathrm{Pe}=\frac{U_{0} a}{D_{f}}=\frac{u a}{D_{f}}(1-1.83 \phi)^{1 / 2}$
考虑纳米粒子团聚效应：
$\begin{array}{l} R_{A}=a\left(1+t / t_{A}\right)^{1 / d_{f}} \\ m_{A}=m_{p}\left(1+t / t_{A}\right) \end{array}$
布朗运动团聚时间tA：
$t_{A}=\frac{\pi \mu a^{3} W}{\phi k_{B} T}$
其中w为稳定性比率，于纳米粒子间距以及纳米粒子的大小有关

posted @ 2020-08-31 22:29 Franzqing 阅读(268) 评论(0) 收藏举报

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