假设校验统计2 检验统计量的确定

 

 

        在假设校验统计1中谈到，假设校验中，先做假设，然后构造一个与假设有关的校验统计量Z。这里就谈论如何确定校验统计量

 

 

        通常校验统计量主要有三个： Z统计量，t统计量，卡方统计量。

        Z统计量和t统计量主要用于均值和比例的校验。

        卡方统计量常用于方差的校验

 

        实际选择哪种统计量时，主要考虑到这几个因素：

                1、样本量

                2、总体方差σ是否已知

 

        根据以上的因素分析，常有如下使用规则：

                            

        

    1、如图所示，当样本容量足够大时，如果总体为正态分布，则样本统计量服从正态分布；如果总体非正态分布，则样本统计量渐近服从正态分布。在这这种情况下，我们可以把样本统计量视为正态分布，这时可以使用z统计量，分析参数校验。

        如上图所示，当标准差σ已知时，可以直接使用方差公式估量。当标准差σ不可知时可以使用样本标准差s代替。

 

    2、当样本容量较小时，如果总体标准差已知，则样本统计量服从正态分布；这时可以使用z统计量，分析参数校验。如果总体标准差未知，进行校验的依赖信息减少，这时只能使用样本标准差，样本统计量服从t分布，使用t统计量。

        与正态分布相比，t分布更为扁平，在相同概率下，t分布的临界点想两边更为扩展，临界点，里中心更远，这意味着推断的精度下降，这时总体标准差σ未知所要付出的代价。

        t统计量如上图右下角所示，但是其中的t统计量的自由度为n-1

        

 

单侧校验与双侧校验分析：

        1）双侧校验问题：

                它有两个拒绝域，两个临界值，每个临界值为α/2 。一般如果原假设为 u = u0形式多为双侧校验。在这种情况下，只要 u > u0或者 u< u0，就可以拒绝原假设

        2）单侧校验问题：

                该类问题一般有方向性。一种时数值越大越好，如灯泡使用寿命，轮胎行驶里程数等，另一种是数值越小越好，如废品率，生产成本等。应根据人们得关注点不同，确定不同方向。

 

 

例题分析：（双侧校验）

        某厂生产一种钢索，其断裂强度X（kg/cm^2）服从正态分布N（u, 40^2），u未知。

        今选择一个容量为9的样本，得到样本均值 /x = 780kg/cm^2

        能否据此样本人为这批钢索的断裂强度为800kg/cm^2？ （α = 0.05）

 

    得：

        σ = 40  u0 = 800  n = 8  /x=78   α = 0.05

    有：

         Zα/2  = Z 0.025 =  ∮（1-0.025）=  1.96  

    又由：    

        样本容量小，σ=40，得到   |z| = 1.5  < 1.96    （1.96是正负数，所以这里用了绝对值）

        因此接受H0假设：钢索的断裂强度为800kg/cm^2

 

 

例题分析：（单侧校验）

        假设某种元件得使用寿命（单位:h）服从正态分布 N(u, 100^2)，u未知。

        按要求，原件得使用寿命不低于2500h才算合格。先从一批原件中随机抽取25件，测得其平均寿命为2484h。试，在显著水平0.1之下，这批元件是否合格。

 

分析：

        原件得寿命越长越好。故可以考虑为左侧校验问题（即左边是拒绝域）

        H0:  u > u0 = 2500

        H1:  u < u0  = 2500

有：

        σ = 100  u0 = 2500  n = 25  /x=2484   α = 0.1

得：

         Zα  = Z 0.1 =  ∮（1-0.1）=  1.28  （正负得  标准正态分布是对称得） 

        得到拒绝域为   Z ≤ -1.28

又有:

        样本容量小，σ=100 ,  得到   z = 0.8   > -1.28

        因此接受假设H0合格