假设检验1

 

 

 

假设检验的意义

        在总体的分布函数完全未知或只知其形式（即分布类型，如已知为正态分布，再比如线性回归中的直线），但不知其具体参数（如均值，方差）的情况下，为了推断总体的某些未知特性（如均值，方差，分布类型），提出的关于总体的假设，并加以校验。

        假设校验的目的如图所示：

 

 

假设检验的使用

1、假设检验问题的提出

        假设检验就是根据得到的样本，对所提出的假设做出接受，还是拒绝的过程。

        参数检验（均值，方差的验证）与非参数检验（样本服从某一分布）

 

2、假设校验的思想

        理论依据：小概率原理。

        小概率事件，在一次试验中几乎不会发生。

        基于该理论，先根据实际情况，对校验对象提出一个假设H0，同时提出一个与原假设对立的假设H1.

        如果小概率事件发生，则假设错误；未发生假设正确

        如：

                H0:样本均值为50

                H1:样本均值不为50    

        然后，构造一个与假设H0有关的统计量Z（称为校验统计量），并确定一个很小的正数α以及一个区域W，使得H0未真时有：

                P{Z ∈ W  |  H0为真} ≤ α

                α称为显著性水平

        这样，在假设H0时正确的前提下，验统计量属于区域W是一个小概率事件，在一次实验中时不应该发生的。

 

        如果我们把来自总体X的样本值 X1，x2，X3.。。。Xn代入校验统计量Z，发现Z属于W，即根本不该发生的小概率事件发生了，那么就判定H0不真，拒绝H0，反之不在W区域内，就不拒绝H0.

        其中W 时Z的H0拒绝域，当z落入H0的拒绝域时，应该拒绝H0，而接受相反的H1.

 

3、假设校验的三种提法及两类错误

 

        三种提法

                1） 双侧校验： 

                         H0： Θ = Θ0 ， H1Θ ≠ Θ0

                        典型如正态分布

                2）单侧检验： 

                         H0：  θ ≤ θ0， H1：  θ ＞ θ0

                        或者：

                         H0：  θ ≥ θ0， H1：  θ ＜ θ0

                3）2）的另一种写法：

                        H0：  θ = θ0， H1：  θ ＞ θ0

                        或者：

                         H0：  θ = θ0， H1：  θ ＜ θ0      

 

 

  4、实际举例：

         某车间用一台包装机包装葡萄糖。每袋葡萄糖的重量时一个随机变量，它服从正态分布。当机器工作正常时，每袋葡萄糖的平均重量是0.5Kg，标准差是0.015kg。某日开工后，为检查该包装机工作是否正常，随机抽取它所包装的葡萄糖9袋，称得净重为（kg):0.496,  0.508, 0.524, 0.519, 0.495,  0.514,  0.522,  0.513,  0.512。问包装机是否正常工作。

分析：

        以u和σ分别表示这一天的  葡萄糖均值和标准差

        由于长期实战表明标准差比较文档，这里假设     σ = 0.0.15

        于是  X ~ N （u, 0.015^2)，这里u未知。

         

        由于正常时u=0.5 ,得假设H0： u=u0=0.5和H1 u≠0.5

                    H0： 正常工作

                    H1：不正常工作

        由于样本均值/x是总体均值u得无偏估计，其观察值/x得大小在一定程度上反应u得大小。

        因此，如果 H0： u=u0=0.5为真，，则/x与u得偏差|  /x  - u0 | 一般不应太大

        若|  /x  - u0 | 太大，则正确性受怀疑，拒绝它，反之|  /x  - u0 | 很小则人为H0正确，接受它。

        因此有W域如下：

                当   |  /x  - u0 |  <  K  时，接受H0

                当   |  /x  - u0 |  >  K  时，拒绝H0

        考虑到当H0： u=u0=0.5为真时，

                             /X   -- u0

                Z =    -----------------------  ~   N(0,1)  

                              σ  / （n ^ 1/2）

 

        为计算方便，将x做标准正态转换。如下图所示

                

        又根据标准正态分布得分位点规定K恰为N（0，1）得α/2分位点：

            

最终有以下所示图例：

 

    继续以上解答有：

            9个样本得平均值为 0.511

            α为小概率事件，取置信区间α = 0.05  Z α/2 = Z 0.0025 = ∮（1-0.0025） = 1.96

            |z| = 2.2 > 1.96

            拒绝假设

 

 

 

 

假设校验的步骤：

    设未知参数Θ，显著性水平为α，X1,X2,.....Xn是来自总体X的样本。对原假设H0：Θ = Θ0（ Θ0是已知常数）

    用一下步骤，对H0做检验

            主要是确定H0的拒绝域 W

    1）取一个未知参数的较优的点估计量（最好是无偏估计量）：

            例如：用所有样本的属性值，计算平均数

    2）从估计量出发，构造一个校验统计量使得当Θ = Θ0时，U的分布是已知的，且可以查表得到U的分位点。

            如 Z  =  (样本均值 - u0)/(σ/n^1/2)

    3）对给定的校验水平α，查表得出U得分位点，并集合H0得意义去除H0得拒绝域。

            使得， Θ = Θ0时， 有 P { U ∈ W | H0为真} = α

            即 P{拒绝H0 | H0为真} = α

            即 计算H0在校验水平α下的拒绝域W

    4）带入样本观测值x1，x2。。。xn，计算U的值u

            若 u ∈ W，则拒绝假设H0： Θ = Θ0，接受H1

            若 u 不∈ W，则接受假设H0： Θ = Θ0，