线段树【转载】

线段树（Segment Trees）主要用来解决跟区间有关的问题。比如，给你一个数组，要求支持以下操作：

1. 更新：将某个区间的所有数加上一个数
2. 查询：查询某个区间的所有数的和

　　普通的做法时间复杂度为 O(n) ，每次需要遍历区间内所有的数，但用线段树可以做到 O(log n) 。

　　其基本思想就是把区间信息先预处理出来。如果根节点保存 [l, r) 的信息（可以是和，或者最大值、最大值等等），其左右孩子节点则分别保存 [l, (l+r)/2) 和 [(l+r)/2, r) 的信息，然后依次类推。

　　查询的时候，只需要选取其中部分节点就可以“拼凑”出要查的区间。所以，线段树只适用于那些总结果可以由子区间的结果合成的问题，比如区间求和、区间最值。

　　由于线段树除最后一层外，前面每一层的节点都是满的，因此深度为 O(log n) 。

　　关于线段树，黑书上说有这样一个性质：线段树建立好后，其范围内的任何一个区间，都可以用线段树上的不超过 2 log n 条线段表示。

　　证明的方法主要是先证每一层最多会被选取两个节点，然后由于高度为 log n 可得。

　　为什么每层最多会选取两个呢？试证如下：

　　首先，任何一个区间进入线段树，这个区间总会在某个地方被分成两半，除非这个区间的长度为 1 ，那就不用讨论了。分成两半后，前一半由于必须包含 mid 这块区间，它“落下”的时候，每一层最多选取一个节点。后一半同理。

(svg)

　　如上图，在线段树中查询线段①，被分成②③两个部分。对于每个部分，可以分两种情况：一种是像②那样，没有达到下一层的一半，此时不会选择 C ；另一种是像③那样，超过下一层的一半，此时会选取 D 。后面的类似。于是一层中最多有两个节点被选取。

　　实现方法：一般是像堆那样实现成数组，然后可以用 2 * i 和 2 * i + 1 作为下标分别访问左右孩子。