排列与组合

 

　　如下图所示的格路模型，从(0,0)到(m,n)的不同途径可以看成是在由x，y（分别代表x，y方向的一段路）组成的长度为m+n的字符串中选择m个作为x的位置，那么不同的路径数就是C(m+n,n).

 

　　组合关系式C(n,r) = C(n-1,r)+C(n-1,r-1)也可以由格路模型得出，如下图所示，从(0,0)到(n-r,r)的路径数等于从(0,0)--->(n-r-1,r),(0,0)--->(n-r,r-1)之和。

　　圆排列：从n个数中取r个的圆排列数为P(n,r)/r,2<=r<=n;项链排列，P(n,r)/2r.

　　多重全排列，若干个元素，r1个1，r2个2，...，rt个t的全排列数P(n;r1,r2...rt)=n!/r1!r2!...rt!，可用于计算多项式展开的系数，如下图所示。

　　从n个元素中取r个的可重组合，用隔板法模型可以得出，组合数等于C(n+r-1,r).

　　对于可重组合和不相邻组合（从1,2，...，n取r个不相邻元素）可以构造出对应的无重组合，如下图所示，c序列的取值范围为[1,n-r+1]，且无重复，那么从从原序列取不相邻的b1-br的组合数相当于从c序列中取r个元素，即C(n-r+1,r).

　　以下是各种排列和组合的计算方法，可重与多重的区别是，可重的可取元素是无限的，多重拿来排列的元素是确定的，有限的。

　　关于全排列以及相关的算法在另一篇博客中说明。