题解：AT_arc185_d [ARC185D] Random Walk on Tree

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题目大意：根上挂了 \(n\) 条长为 \(m\) 的链，从根开始，每次随机选择和当前点直接相连了点并走过去，求期望多少步后能走每个点至少一次。

设 \(f_i\) 表示当前走到第i层，期望还需要多少步能走完一条链（到达链底）。

可以列出方程：\(f_i=\left\{ \begin{array}{rcl} f_1+1 & i=0 \\ \frac{f_{i-1}+f_{i+1}}{2}+1 & 1 \leq i <m \\ 0 & i=m \end{array}\right.\)

不难推出 \(f_{m-i}=\frac{i}{i+1} f_{m-i-1}+i\)，所以 \(f_1=\frac{m-1}{m} f_0+m-1\)，又有 \(f_0=f_1+1\)，所以 \(f_0=m^2\)。

同理从链底走到根节点期望也是 \(m^2\) 步。

走完 \(n-i\) 条链后，由于走的方式是随机的，所以可以理解为在 \(n\) 条链中随机找一条来走，走对的概率是 \(\frac{i}{n}\) 的，所以期望要走 \(\frac{n}{i}\) 次。

注意到最后一次走完不用回到根节点，所以答案为 \((2\sum\limits_{i=1}^n \frac{n}{i}-1)m^2\)。

Code：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cassert>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<set>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10, MOD = 998244353;
long long ny[N];
int n, m;
int main(){
//	freopen("input.txt", "r", stdin);
//	freopen("output.txt", "w", stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin >> n >> m;
	ny[0] = ny[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++)
		ny[i] = (MOD - MOD / i) * ny[MOD % i] % MOD;
	long long sum = 0, t = 1ll * m * m % MOD;
	for(int i = n; i; i--){
		sum = (sum + n * t % MOD * 2 % MOD * ny[i] % MOD) % MOD;
	}
	sum = (sum - t + MOD) % MOD;
	cout << sum << "\n";
}