对傅里叶变换的一些理解

傅里叶变换将时域信号变成频域信号，能对信号进行频域上的分析，是分析信号的重要手段。这里我记录一下我对傅里叶变换的过程理解。

一，基本知识

这里不加证明的给出几条基本知识：

1. 任何周期信号都能够用傅里叶级数表示，即写成\(x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkw_0t}\) 形式。
2. \(a_k\)是傅里叶级数系数，也称频率谱线，表示一个频率所占信号成分的的多少，其表达式为\(a_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jkw_0t}dt\)。

二，非周期函数的傅里叶变换

周期函数的傅里叶变换就是将其写成傅里叶级数的形式，便可得到频谱。而对于不能写成傅里叶级数形式的非周期函数，可以将其视为\(T\to\infty\)的特殊情况，无限逼近。

对周期函数\(x_T(t)\)有：

\[a_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x_T(t)e^{-jkw_0t}dt,w_0=\frac{2\pi}{T} \]

当\(T\to\infty\)时，可以得到：

\[x_T(t) \to x(t):T无限大，周期函数变非周期函数 \]

\[w_0 \to dw:w_0无限小，变成微分 \]

\[kw_0 \to w:w_0无限小，kw_0可以代表任何值，变成连续变量 \]

\[a_k=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jwt}dt:变成连续的函数 \]

那么定义一个X(jw)：

\[X(jw)=\lim_{T \to \infty}a_kT=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jwt}dt \]

则X(jw)是一个连续的频谱，值与\(a_k\)意义相同。

现在再次看到周期函数的傅里叶变换，可以看到傅里叶级数是X(jw)的一系列离散点，而非周期函数是整个连续的频谱。

三，逆傅里叶变换

周期函数的逆傅里叶变换就是傅里叶级数的形式：

\[x_T(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkw_0t}=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(jkw_0)e^{jkw_0t} \]

非周期函数的逆傅里叶变换则是将离散变连续:

\[x(t)=\lim_{T \to \infty}x_T(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(jw)e^{jwt}dw \]

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