【题解】雅礼集训 2017 Day7 题解

「雅礼集训 2017 Day7」事情的相似度

注意到 最长公共后缀 其实是 SAM 上的 LCA ，因此原题变成了询问深度最深的 LCA 。

定义一个前缀在 parent 树上对应的点为其"结束点"。考虑一个树上的点什么时候可能成为答案，注意到如果这个点的子树内有两个以上的"结束点"那么就可以，这个时候就直接用其更新答案即可，注意到如果其不合法也一定在子树内有合法答案点存在，且子树内的更优。

这样的话就是询问：所有子树内有至少两个"结束点"的深度最大点的深度。

考虑离线，将询问挂在右端点，维护左端点的答案。现在在右边加入一个字符，暴力做法就是不断往上跳祖先，对于祖先 \(f\) ，令 \(f\) 的子树中有一个最晚的"结束点"，对应的前缀是 \(S\{1,k\}\) ，那么对于询问的左端点在 \([1,k]\) 中的点都将被更新。由于是前缀 \(\max\) 操作，可以直接用 树状数组 维护。

暴力跳祖先是不能被接受的，考虑加速这个过程。注意到插入完毕后，整个一条链上的"子树中最晚"结束点""都会变为当前插入的右端点。这个东西可以直接用"区间本质不同子串个数"那题的方法做，就是直接上 LCT 维护即可。

至于为什么 LCT 的时间复杂度是对的，容易发现这个过程其实和 access 的过程是相似的，直接套用 access 的证明过程就行（当然也可以从 区间染色的颜色段数均摊 理解）。

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\(\mathtt{suffix\ automaton}\) 复健计划 \(\mathtt{(2/?)}\) 。

「雅礼集训 2017 Day7」跳蚤王国的宰相

考虑当前在点 \(u\)，如果一个儿子 \(v\) 更适合作为答案当且仅当 \(siz_v>n-siz_v\) 。要满足点 \(u\) 可以被钦定，就一定要满足 \(u\) 的内子树和外子树的大小都不超过 \(\frac{n}{2}\) 。

画出一棵树，找到它的重心 \(g\) ，将 \(g\) 提为根节点。现在求 \(g\) 某个儿子 \(u\) 的答案，不难发现：

• \(u\) 子树内是不需要管的，\(u\) 的外子树一定需要被调整。
• 调整外子树的最优方案一定是切掉一些 \(g\) 的其他儿子，切掉的儿子不需要再次被调整。

这样子的话就挑最大的切，什么时候合法了就停下，得到的一定是最优解。

考虑怎么做 \(u\) 子树内某个点 \(u'\) ，不难发现：

• \(u'\) 子树内是不需要管的，\(u'\) 的外子树一定需要被调整。
• 调整外子树的最优方案有两种：
  • 切掉一些 \(g\) 的其他儿子，被切掉的儿子不需要再次被调整。
  • 切掉一些 \(g\) 的其他儿子，并且切掉 \(g\) 。

不难发现 调整外子树 的第二种方法需要的操作次数就是 \(u\) 的操作次数加 \(1\) ，那么要管的只有第一种。又不难发现第一种只跟 \(u'\) 在 \(u\) 子树中的外子树的大小有关，又是满足单调性的，对这个直接求解即可。

时间复杂度 \(O(n\log n)\) ，瓶颈在给 \(g\) 的子树排序。

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「雅礼集训 2017 Day7」蛐蛐国的修墙方案

连边的操作就是形如"如果 \(i\) 为左括号，那么 \(j\) 一定是右括号"的限制。

然后我想了各种做法，包括但不限于网络流，感觉做不动。哀叹水平不够，偷看 tag 发现是"搜索" ...... 爱了。

先考虑怎么判断合法括号序，显然只需要满足前缀和不小于 \(0\) 即可。

容易发现原图一定成为若干环，并且环上的点一定是左右括号相间，那么不会出现奇环，对于每个偶环也只有 \(2\) 种方案。硬搜方案的话，最多可能有 \(50\) 个偶环，难以通过。不过对于长度为 \(2\) 的偶环可以贪心考虑，即一定是左括号在前面，右括号在后面。

这样的话只有长度不小于 \(4\) 的环需要被暴力枚举，时间复杂度 \(O(n2^{\frac{n}{4}})\) 。

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思维不能硬化啊，搜索也要面子的诶