关于二叉（元）搜索树的建立(插入、查找最大最小、删除)

在C语言中，建立二叉（元）树需要通过函数来建立二叉树。考虑到C语言会出现形参出栈直接丢弃的情况，所以这里需要考虑两种方法：

一种是在函数内进行所有操作，通过malloc函数在内存内开辟一片空间，然后将这个空间赋值给main函数里面的一个相关变量。另一种方式是导入一个指向指针的指针，对这个指向指针的指针进行相关的操作，从而对main函数中的指针进行相关操作。考虑到程序的一致性或者连贯性，我们这里通过在main函数中建立相关的指针，然后通过返回值的形式将相关地址赋值给main函数中的指针来进行二叉树的建立。

首先需要建立一个二叉树的节点

程序如下：

 运用返回值的方法，程序如下：

 

假设我们要在下面这棵树进行相关的操作：

我们想将数字13插入到这棵树中。理论上应当插入到10的右孩子位置处

当我们导入到函数中的时候，发生了下面的事情：

首先判断T是不是空--->非空，那么比10（此时T的位置）大还是小？--->因为是大，所以调用：

T->rightNode = insert(data, T->rightNode);

此时进入另一个insert，重复上面的步骤：因为此时"T->rightNode"为NULL状态，所以进行malloc操作并进行赋值，将此时的T（T->rightNode）值返回到原函数中，这样就进行了一次插入操作.

 

那么，如果是下面这棵树，我们想将11插入进去呢？

 

重复上面的操作，此时出现了一个问题：10的右孩子不是空的。那调用函数，产生的数值赋值给了谁呢？

我们不妨用一个不是特别标准的堆栈模型来模拟这个过程：

当判断11和10的时候，因为11 > 10，所以11要到10的右边。此时10的右边已经有了13，我们先进行程序，此时又掉用了insert函数，只不过此时掉用的是11和13所在的位置T->rightNode。由前面可知，因为11<13,所以要到13的左孩子位置处，所以又掉用了一遍insert函数，此时掉用的相当于是T->right->left，那么这个过程就和往10里面插入13一样了。而后面呢？我们中间还掉用了一遍insert。不要忘了，这时候对T->right没有进行任何的修改，所以直接返回的就是T->right的数值，同理，前面也是直接返回的就是T的数值，整个过程只对最后的13的左孩子进行了相对应的插入操作，而对中间的任何树都是没有任何影响的。我们可以想到，假设这棵树很长，那么对这棵树进行先关的插入操作，同样可以很成功的插入到相对应的位置上头。

趁着热乎劲儿，我们来看一下删除函数，其特性和insert有一曲同工之妙：

首先说一下删除函数要分三种情况：

第一种情况是这个节点没有孩子，那么直接将NULL赋值给这个节点就行。

第二种情况是这个节点有一个孩子，那么将这个节点替换成这个节点的孩子

第三种情况，也就是最复杂的情况：如果这个节点包含两个孩子（在后面我们会看到这个节点下面有多少的子节点是不影响的），要将此节点右边的最小值或者左边的最大值替换掉此节点，并删除作为替换数值的这个最小（大）节点。

函数如下： 

我们先看没有子节点或者有一个子节点的部分：

        tempNode = T;
        if (T->leftNode == NULL) {
            T = T->rightNode;
        }
        if (T->rightNode == NULL) {
            T = T->leftNode;
        }
        free(tempNode);

首先是将要删除掉的节点赋值给"tempNode"，如果是左边空，那么就将右边的赋值给T，反之就是将左边的赋值给T，无论是有无子节点，这一部分都是没有影响，无外乎就是将有值或者NULL赋值给T。

接下来就考虑最坑的删除有两个孩子的节点：

我们先来看一下为什么要找左边最大的或者右边最小的。

如果这棵二叉树是正规的，那么理论上对于某一节点，它的所有左子节点都应该小于它，它的所有右子节点都应该大于它。假设我们此时有这么一个树：

 

 

我们此时想要删除掉15，那么我们有两种路子可以走：一种是找15这个节点左半部分的最大值，一种是找这个节点右半部分的最小值。假设我们这回找右半部分的最小值，理论上应该是16。为什么应该是16。而不是17或者20？首先我们应当明确一个概念，对于15，它的左半部分是全部小于它的，它的右半部分是全部大于它的。而这一情况对于所有节点全部适用。那么我们想要删除掉一个节点，什么节点才是最接近这个节点的呢？自然是比它大的元素里面的最小值，或者比它小的里面的最大值。因为被删除节点还有两个孩子，所以为了孩子以及孙子的安全，我们此处找比它大的最小值16（也可以找比它小的最大值12，此处只是为了说明），肯定比“比15大的数字除了其本身小”，肯定比“比15小的数字大”。15下面的孩子是安全的，我们只需要删掉右边的16节点即可。

明白了这一概念，程序也就不难理解了：如果此节点有两个孩子，那么执行下面的部分：

if(T->leftNode != NULL && T->rightNode != NULL){   //由树的性质，我们要用左边的最大值或者右边的最小值来替换原数值。
        tempNode = FindMin_recurse(T->rightNode);
        T->data = tempNode->data;
        T->rightNode = delete(T->rightNode, T->data);
    }

其中：

        T->rightNode = delete(T->rightNode, T->data);

这一句的理解和前面insert的理解相同，在这里不再赘述。