极小多项式

适合A的多项式：令S为非零集合：所有矩阵A适合的多项式

考虑：所有适合矩阵A的最小多项式----且可以证明：一定存在矩阵A的最小多项式-------并将其首一的

 

---

---

---

 极小多项式的定义：适合矩阵A的最小次数的多项式

最下多项式一定存在且唯一

纯量矩阵的最小多项式

如果A可对角化，则其极小多项式没有重根---如果矩阵A的极小多项式没有重根---则矩阵A可以对角化

 

---

---

 任何矩阵的特征值都是极小多项式的根

 

---

---

---

 

极小多项式与特征多项式的关系：

任何一个矩阵都复相似与一个上三角矩阵---

任何一个矩阵都适合其自己的特征多项式

将标准列向量右 乘矩阵可以得到矩阵的第i列

---

---

---

 

定理：卡莱哈密顿定理------任何矩阵都要适合其多项式

相似关系的相容性

简单推论：

1. 极小多项式的上界极小多项式的次数小于等于n
2. 极小多项式与特征多项式的根在不计次数的条件下是相等的
3. 特征多项式的代数重数（代数重数的相加一定等于n）
4. 矩阵如果有n个不同的特征值----------则极小多项式===特征多项式
5. 特征多项式一定可以整除极小多项式的n次方

6. ---

   ---

 

将代数的语言转化为几何的语言