习题：Vasya and Maximum Matching（转换&DP）

题目

传送门

思路

这道题的难点主要在于模型的转换

我们首先考虑一颗树的如果有唯一最大匹配会满足什么条件

每一个叶子是一个被匹配到的（这应该不难证明吧）

接着我们考虑将每一对匹配的节点删去，那么最后一定不会剩下任何节点（你可以平移的思想去证明）

当然，还是有唯一的例外的，这个树只有一个节点

接着我们设\(dp[i][3]\)表示以i为根节点的子树，0表示i已经和某一个儿子匹配了，1表示i不和任何一个儿子进行匹配，但是他与父亲进行了匹配，2表示i不和任何一个儿子进行匹配，这里不要求和父亲之间的关系

接着我们考虑用插入的方法来合并dp，即将v节点前面所枚举的节点看做是一颗子树

如果是0，那么他可能之前就已经匹配好，或者是与v进行匹配

如果是1，那么儿子节点要么匹配好了，要么就是一个点或者自己以前就是无子的情况

如果是2，就更简单了，直接考虑儿子匹配好了，或者无子就行

代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n;
long long  dp[300005][3];
/*
0:匹配
1:未被匹配,但是父亲和他进行匹配
2:无子
*/
long long temp[3];
vector<int> g[300005];
void dfs(int u,int fa)
{
    dp[u][2]=1;
    for(int i=0;i<g[u].size();i++)
    {
        int v=g[u][i];
        if(v!=fa)
        {
            dfs(v,u);
            temp[0]=dp[u][0]*(dp[v][0]*2+dp[v][2])%mod;
            temp[0]=(temp[0]+(dp[u][1]+dp[u][2])*(dp[v][1]+dp[v][2])%mod)%mod;
            temp[1]=dp[u][2]*dp[v][0]%mod;
            temp[1]=(temp[1]+dp[u][1]*(dp[v][0]*2+dp[v][2]))%mod;
            temp[2]=(dp[u][2]*(dp[v][2]+dp[v][0]))%mod;
            for(int j=0;j<=2;j++)
                dp[u][j]=temp[j];    
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1,u,v;i<n;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,0);
    cout<<(dp[1][0]+dp[1][2])%mod;
    return 0;
}