习题：Rating（概率dp）

题目

传送门

思路

首先有一点最后的情况一定是1个1000，另一个950

我们将所有的数除以50

我们设\(f_i\)为从i分到20分的期望步数

很容易就能得到转移的方程

\(f_i=p*f_{i+1}+(1-p)*f_{i-2}+1\)

到这里就可以直接用gauss了

但是我们有更好的方法

设\(dp_i=f_{i+1}-f_i\)

可以得到

\(\begin{aligned}dp_i&=f_{i+1}-f_i\\&=(dp_{i+1}*p+dp_{i-2}*(1-p))\end{aligned}\)

通过等价变换可以得到

\(dp_i(dp_{i-1}-dp_{i-3}*(1-p))/p\)

那么答案呢？

用\(f\)的答案是\((f_{20}-f_0)+(f_{19}-f_0)\)

那么将其转换为\(dp\)则为\(\sum_{i=0}^{19}2dp_i-dp_{19}\)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
double p;
double ans;
double dp[25];
int main()
{
	while(cin>>p)
	{
		ans=0;
		dp[0]=1/p;
	    dp[1]=dp[0]/p;
	    dp[2]=dp[1]/p;
	    for(int i=2;i<=19;i++)
	    	dp[i]=(dp[i-1]-dp[i-3]*(1-p))/p;
	    for(int i=0;i<=19;i++)
	    	ans=ans+dp[i]*2;
	    ans-=dp[19];
	    printf("%.6lf\n",ans);
	    
	}
    return 0;
}