习题：逼死强迫症（矩阵快速幂）

题目

传送门

思路

我们设\(ans_i\)为\(2*i\)矩阵的答案

那么\(ans_i\)怎么转移呢？

首先有一点很容易明白

如果特殊方块不在新进入的矩阵中

那么\(ans_i=ans_{i-1}+ans_{i-2}+x\)

因为对于\(2*(i-1)和2*(i-2)\)两个矩阵，如果特殊方块不在新进入的矩阵中，

那么构成就只有一种情况

如果特殊方块在新进入的矩阵中呢？

对于标红的两个矩阵是必填的，

并且在特殊方块之下的所有矩阵都必须竖着放，也就是只有一种方案

在之后，在特殊方块之上就是一个经典的模型:\(2*n的矩阵用1*2的矩阵填入的方案数\)

得到最终的转移方程

\(ans_n=ans_{n-1}+ans_{n-2}+\sum_{i=0}^{n-3}f_i\)

其中\(f_i\)为斐波拉契数列

其中\(f_0=1,f_1=1\)

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long mod=1e9+7;
struct node
{
	int n,m;
	long long a[10][10];
	node()
	{
		n=0;
		m=0;
		memset(a,0,sizeof(a));		
	}
	friend node operator * (const node &a,const node &b)
	{
		node t;
		t.n=a.n;
		t.m=b.m;
		for(int i=1;i<=a.n;i++)
			for(int j=1;j<=b.m;j++)
				for(int k=1;k<=a.m;k++)
					t.a[i][j]=(t.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
		return t;
	}
}ori,acc;
long long T;
long long n;
node qkpow(node a,int b)
{
	if(b==1)
		return a;
	node t=qkpow(a,b/2);
	t=t*t;
	if(b%2==1)
		t=t*a;
	return t;
}
void c_in()
{
	cin>>n;
	if(n<=2)
	{
		cout<<"0\n";
		return;
	}
	if(n==3)
	{
		cout<<"2\n";
		return ;
	}
	ori.n=7;//f3 f2 s3 s2 s1 ans3 ans2
	//f为斐波拉契数列，s为前缀和，ans为答案
	ori.m=1;
	ori.a[1][1]=3;
	ori.a[2][1]=2;
	ori.a[3][1]=7;
	ori.a[4][1]=4;
	ori.a[5][1]=2;
	ori.a[6][1]=2;
	ori.a[7][1]=0;
	acc.n=7;
	acc.m=7;
	acc.a[1][1]=acc.a[1][2]=acc.a[2][1]=acc.a[3][1]=acc.a[3][2]=acc.a[3][3]=acc.a[4][3]=acc.a[5][4]=acc.a[6][6]=acc.a[6][7]=acc.a[7][6]=1;
	acc.a[6][5]=2;
	ori=qkpow(acc,n-3)*ori;
	cout<<ori.a[6][1]<<'\n';
}
int main()
{
	cin>>T;
	for(int i=1;i<=T;i++)
		c_in();
	return 0;
}