学习：欧拉函数

欧拉函数

定义

\(\varphi(x)\)=小于等于x的与x互质的数

\(\varphi(x)=\sum_{i=1}^{x}[gcd(x,i)==1]\)

特殊的\(\varphi(1)=1\)

怎样求

• \(O(n*log_n)\)

  枚举每一个小于等于n的i，

  之后暴力求\(gcd(n,i)\)。

  但是过于暴力

• \(O(n)\)

  考虑找到属于n的每一个质因数

  之后对这些质因数进行容斥

  质因数最多有\(log_n\)个

  \(2^{log_n}\)就是n

  设n的质因数为\(p_1,p_2,p_3...p_m\)

  \(\varphi(n)=n-\sum_{i=1}^{m}\frac{n}{p_i}+\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=i+1}^{m}\frac{n}{p_i*p_j}......\)

• \(O(\sqrt{n})\)

  我们将容斥的式子化简一下就得到了\(\varphi\)的通项公式

  \(\varphi(n)=n*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})......\)

  \(\varphi(n)=n*\prod_{i=1}^{m}\frac{p_i-1}{p_i}\)

  之后我们可以很容易得到欧拉函数是积性函数这个结论

  我们也可用这个式子来敲代码即可

• 更好

  \(\varphi\)为积性函数

  \(\varphi(n)=\varphi(x)*\varphi(n/x)[gcd(x,\frac{n}{x})==1]\)

  可以发现当\(n=p^k\),\(\varphi(n)=p^{k-1}*(p-1)\)，\(p\)为质数

  由此出发，对于\(\varphi(n)\)，

  \(\varphi(n)=p^{k-1}*(p-1)*\varphi(\frac{n}{p^k})\)

  也就是说我们只需要知道\(p,p^k,p^{k-1}*(p-1),\varphi(\frac{n}{p^k})\)

  时间复杂度笔者也会不算

• \(O(n)\)线性筛

  我们可以直接在做欧拉筛的时候，

  顺便找到\(p,p^k\)

  对于\(p^{k-1}*(p-1),\varphi(\frac{n}{p^k})\)我们可以处理出一张表

代码

• \(O(\sqrt{n})\)

  #include<iostream>
  using namespace std;
  long long n;
  long long ans;
  int main()
  {
  	ios::sync_with_stdio(false);
  	while(1)
  	{
  		cin>>n;
  		ans=n;
  		if(!n)
  			break;
  		for(int i=2;i*i<=n;i++)
  		{
  			if(n%i==0)
  			{
  				ans-=ans/i;
  				while(!(n%i))
  				{
  					n/=i;
  				}
  			}
  		}
  		if(n>1)
  		{
  			ans-=ans/n;
  		}
  		cout<<ans<<'\n';
  	}
  	
  	return 0;
  }
  

• 更好（其实可以用数组来打表，但是为了适用性更好，所以直接使用map）

  #include<iostream>
  #include<map>
  using namespace std;
  long long n;
  map<long long,long long> m;
  long long solve(long long x)
  {
  	long long now=x;
  	if(m[x])
  		return m[x];
  	for(int i=2;i*i<=x;i++)
  	{
  		if(x%i==0)
  		{
  			long long t=1;
  			while(!(x%i))
  			{
  				x/=i;
  				t*=i;
  			}
  			t/=i;			
  			m[now]=t*(i-1);
  			m[now]=m[now]*solve(now/(t*i));
  			return m[now];
  		}
  	}
  	m[x]=x-1;
  	return m[x];
  }
  int main()
  {
  	ios::sync_with_stdio(false);
  	m[1]=1;
  	while(1)
  	{
  		cin>>n;
  		if(!n)
  			break;
  		cout<<solve(n)<<'\n';
  	}
  	return 0;
  }
  

• 线性筛

  #include<iostream>
  using namespace std;
  long long n;
  long long phi[1000005];
  bool vis[1000005];
  long long prime[1000005];
  int lenp;
  void varphi(long long n)
  {
  	phi[1]=1;
  	for(int i=2;i<=n;i++)
  	{	
  		if(!vis[i])
  		{
  			prime[++lenp]=i;
  			phi[i]=i-1;
  		}
  		for(int j=1;j<=lenp&&prime[j]*i<=n;j++)
  		{
  			vis[prime[j]*i]=1;
  			if(i%prime[j]==0)
  			{
  				phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
  				break;
  			}
  			else
  			{
  				phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
  			}
  		}
  	}
  }
  int main()
  {
  	varphi(1000000);
  	return 0;
  }
  

欧拉定理

内容

\(a^c=\begin{cases}a^{c\%\varphi(m)} &(gcd(a,m)==1)\\a^c &(gcd(a,b)\neq1,c<\varphi(m))\\a^{c\%\varphi(m)+\varphi(m)}&(gcd(a,b)\neq1,c\geq\varphi(m))\end{cases}\)

证明

咕咕咕