习题：最大子矩阵（DP）

题目

传送门

思路

这道题的m很有意思
只可能为1，或者2
所以我们分开考虑

\(m==1\)

这个时候整个矩阵为一条链
所以定义dp[i][j]为前i个数选了j个矩阵
\(dp[i][j]=\max_{t=i-1}^{j-1}dp[t][j-1]+s[i]-s[t]\)

\(m==2\)

我们从\(m==1\)中可以得到一些启示
定义dp[i][j][k]为定义第1列选了i个，第2列选了j个，一共选了k个矩阵
\(s[i][j]\)为第j列前i个数字的和
\(dp[i][j][t]=\max_{z=i-1}^{0}dp[z][j][t-1]+s[i][1]-s[z][1]\)
\(dp[i][j][t]=\max_{z=j-1}^{0}dp[i][z][t-1]+s[j][2]-s[z][2]\)
但是我们还要考虑\(i==j\)的特殊情况
\(dp[i][i][t]=\max_{z=i-1}^{0}dp[z][z][t-1]+s[i][1]-s[z][1]+s[j][2]-s[z][2]\)
初始化也比较简单
\(dp[i][j][t]=max\{dp[i-1][j][t],dp[i][j-1][t]\}\)

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,k;
int a[105][5];
int s[105][5];
int dp[105][105][15];
int main()
{
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
			s[i][j]=s[i-1][j]+a[i][j];
		}
	}
	
	if(m==1)
	{
		dp[1][1][1]=a[1][1];
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=k;j++)
			{
				dp[i][1][j]=dp[i-1][1][j];
				for(int t=i-1;t>=1;t--)
				{
					dp[i][1][j]=max(dp[i][1][j],dp[t][1][j-1]+s[i][1]-s[t][1]);
				}
			}
		}
		cout<<dp[n][1][k];
	}
	else
	{
		
		for(int t=1;t<=k;t++)
		{
			for(int i=0;i<=n;i++)
			{
				for(int j=0;j<=n;j++)
				{
					if(i!=0&&j!=0)
						dp[i][j][t]=max(dp[i][j-1][t],dp[i-1][j][t]);
					else if(i!=0)
						dp[i][j][t]=dp[i-1][j][t];
					else if(j!=0)
						dp[i][j][t]=dp[i][j-1][t];
					for(int z=i-1;z>=0;z--)
						dp[i][j][t]=max(dp[i][j][t],dp[z][j][t-1]+s[i][1]-s[z][1]);
					for(int z=j-1;z>=0;z--)
						dp[i][j][t]=max(dp[i][j][t],dp[i][z][t-1]+s[j][2]-s[z][2]);
					if(i==j)
					{
						for(int z=i-1;z>=0;z--)
							dp[i][j][t]=max(dp[i][j][t],dp[z][z][t-1]+s[i][1]-s[z][1]+s[j][2]-s[z][2]);
					}
				}
			}
		}
		cout<<dp[n][n][k];
	}
	return 0;
}