容斥原理

简单的容斥原理可以通过画文氏图来理解：
\( \left | S_1\cup S_2 \right |=\left | S_1 \right |+\left | S_2 \right |-\left | S_1\cap S_2 \right | \)

\( \left | S_1\cup S_2 \cup S_3 \right |=\left | S_1 \right |+\left | S_2 \right |+\left | S_3 \right |-\left | S_1\cap S_2 \right |-\left | S_1\cap S_3 \right |-\left | S_2\cap S_3 \right |-\left | S_1\cap S_2 \cap S_3 \right | \)

可得：

\[\left |S_1 \cup S_2 \cup ...S_n \right |=\sum_{i=1}^{n}((-1)^{n-1}*\sum_{j=1}^{C_{n}^{i}}\left |S_{x1} \cap S_{x2} \cap...S_{xi} \right|) \]

后面那个\( \sum \)里是\( i \) 个元素的一种组合

经典问题：

一、不定方程

首先考虑不定方程\( x_1+x_2+...+x_n=m \)的非负整数解个数
是\( C_{x+m-1}^{m-1} \)
用隔板法比喻来解释一下：考虑现在有\( n-1 \)个隔板，要插进\( m \)个球中间，隔板允许放进同一位置。首先不能放进同一位置的很简单，组合数即可，而对于允许放进同一位置的情况，考虑把放在同一位置的也用球隔开，那么相当于多加了\( m \)个球的不允许放进同一位置。

那么现在考虑增加一些限制：\( x_i \)的最大值为\( b[i] \)。这个时候就要考虑用容斥原理了。
对于\( b[i] \)均相同时，设\( x=b[i] \)：
枚举有至少\( k \)个不满足的条件，那么这\( k \)个不满足的条件得组合个数为\( C_{m-1}^{k} \)，这\( k \)个不满足的条件每个至少是\( x+1 \)，在总数中去掉不满足条件的\( k \)个\( x+1 \)，然后在剩下的数中使用隔板法，方案数为\( C_{n-(k+1)*x+m-2}^{m-2} \)
例题：
hdu 5201 http://www.cnblogs.com/lokiii/p/8214425.html

对于不等于的情况，\( 2^n \)枚举每种不满足的条件组合方案即可。
例题：
Codeforces 451E http://www.cnblogs.com/lokiii/p/8203480.html

二、错排问题

错排的性质就是第\( i \)个位置上的数字不等于\( i \)。也就是\( d[i]!=i \)
那么设\( D_n \)为\( n \)个数字的错排方案数，和上面差不多的，加上至少0个\( d[i]=i \)减去至少1个\( d[i]=i \)加上至少2个\( d[i]=i \)......

\[D_n=n!-\sum_{t=1}^{n}(-1)^{t-1}\sum_{i_1<i_2<...<i_t}(n-t)! \]

\[D_n=n!+\sum_{t=1}^{n}(-1)^tC_{n}^{t}(n-t)! \]

\[D_n=n!+\sum_{t=1}^{n}(-1)^t\frac{n!}{t!} \]

\[D_n=n!\sum_{t=0}^{n}\frac{(-1)^t}{t!} \]

例题：
bzoj 4517 http://www.cnblogs.com/lokiii/p/8215044.html